2010考研数学基础班线性代数讲义(全)[1]do.pdf

2010考研基础班线性代数

主讲：尤承业
考研基础班线性代数讲义
第一讲基本概念
线性代数的主要的基本内容：线性方程组矩阵向量行列式等
一．线性方程组的基本概念
线性方程组的一般形式为:

⎧a11x1+a12x2+L+a1nxn=b1,
⎪
⎪a21x1+a22x2+L+a2nxn=b2,
⎨
⎪LLLL
⎪
⎩am1x1+am2x2+L+amnxn=bm,
其中未知数的个数n和方程式的个数m不必相等.

线性方程组的解是一个n个数C1,C2,…,Cn构成,它满足:当每个方程中的未知数x1都用C1替代时都成
为等式.
对线性方程组讨论的主要问题两个:
(1)判断解的情况.
线性方程组的解的情况有三种:无解,唯一解,无穷多解.
⎧ax+by=c
⎨
⎩dx+ey=f
如果两条直线是相交的则有一个解；如果两条直线是重合的则有无穷多个解；如果两条直线平行且不重合
则无解。
(2)求解,特别是在有无穷多解时求通解.

齐次线性方程组:b1=b2=L=bn=0的线性方程组.0,0,…,0总是齐次线性方程组的解,称
为零解.
因此齐次线性方程组解的情况只有两种:唯一解(即只要零解)和无穷多解(即有非零解).
二.矩阵和向量
1.基本概念
矩阵和向量都是描写事物形态的数量形式的发展.
矩阵由数排列成的矩形表格,两边界以圆括号或方括号,m行n列的表格称为m×n矩阵.这些数称为他的
元素,位于第i行j列的元素称为(i,j)位元素.
3−21
045
是一个2×3矩阵.
对于上面的线性方程组,称矩阵

1
a11a12La1na11a12La1nb1
aaLaaaLab
A=21222n(Aβ)=21222n2
LLLL和LLLLM

am1am2Lamnam1am2Lamnbm

为其系数矩阵和增广矩阵.增广矩阵体现了方程组的全部信息,而齐次方程组只用系数矩阵就体现其全部
信息.
2009年的一个题中,一个方程组的系数矩阵为

⎧x1-x2-x3=1,
1−1−11⎪
−111−1⎨-x1+x2+x3=-1,
,常数列为,则方程组为⎪
0−1−22⎩-x2-2xn=2.
由n个数构成的有序数组称为一个n维向量,称这些数为它的分量.
零矩阵:元素都是0的矩阵.零向量:分量都是0的向量.
2.矩阵和向量的关系
书写中可用矩阵的形式来表示向量:写成一行或写成一列.
3
−2
问题:(3,-2,1)和是不是一样?
1
作为向量它们并没有区别,但是作为矩阵,它们不一样(左边是1×3矩阵,右边是3×1矩阵).习惯上把它们分
别称为行向量和列向量.
一个m×n的矩阵的每一行是一个n维向量,称为它的行向量;每一列是一个m维向量,称为它的列向量.
3.n阶矩阵与几个特殊矩阵
n×n的矩阵叫做n阶矩阵.
把n阶矩阵的从左上到右下的对角线称为它对角线.(其上的元素行号与列号相等.)
下面列出几类常用的n阶矩阵:
对角矩阵:对角线外的的元素都为0的n阶矩阵.
数量矩阵:对角线上的的元素都等于一个常数c的对角矩阵.
单位矩阵:对角线上的的元素都为1的对角矩阵,记作E(或I).
上三角矩阵:对角线下的的元素都为0的n阶矩阵.
下三角矩阵:对角线上的的元素都为0的n阶矩阵.

对称矩阵:满足AT=A矩阵.也就是对任何i,j,(i,j)位的元素和(j,i)位的元素总是相等的n阶矩
阵.
问题:下列矩阵都是什么矩阵?
100c002−11
0000c0017
①②③
00200c000
2
011000
120000
④⑤
100000
对角矩阵:①、②、⑤
上三角矩阵:①、②、③、⑤
下三角矩阵:①、②、⑤
对称矩阵:①、②、④、⑤
三.线性运算和转置
1.线性运算
是矩阵和向量所共有的.
①加(减)法:两个m×n的矩阵A和B可以相加(减),得到的和(差)仍是m×n矩阵,记作A+B(A-B),法则为对
应元素相加(减).
04−51−4310−2
+=
11720−6311
两个同维数的向量可以相加(减),规则为对应分量相加(减).
②数乘:一个数c与一个m×n的矩阵A可以相乘,乘积仍为m×n的矩阵,记作cA,法则为A的每个元素乘c.

一个数c与一个n维向量α可以相乘,乘积仍为n维向量,记作cα.法则为α的每个元素乘c.
c00
0c0=cE
00c

向量组的线性组合:设α1，α2…，αs是一组n维向量,c1,c2,…,cs是一组数,则称

c1a1+c2a2+L+csas为α1，α2…，αs的(以c1,c2,…,cs为系数的线性组合.
3−14
A=507
例:求矩阵的列向量组的系数为1,1,1的线性组合.
08−6
3−146

解:5+0+7=12
08−62
2.转置
T
把一个m×n的矩阵A行和列互换,得到的n×m的矩阵称为A的转置,记作A.

3