2012年超越考研暑期强化班讲义一元方程练习题参考解答.pdf

2012年暑期强化班讲义一元函数微积分、常微分方程练习题参考解答何先枝

练习题参考解答

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第一章函数、极限与连续

―――――――――――――――――――练习1―――――――――――――――――

1.〖解〗当x<0时，f(x)=1>0，从而，f[f(x)]=−1；

当x=0时，f(0)=−1<0，从而，f[f(x)]=1；

当x>0时，f(x)=−1<0，从而，f[f(x)]=1；

⎧−1,x<0,
于是，f[f(x)]=⎨■
⎩1,x≥0.
1
2.因为对任意大的正数M，总存在点x=∈(0,1)（k充分大），使得
kπ
+2kπ
2
π
f(x)=+2kπ>M（k充分大），
k2
11
故f(x)=sin在区间(0,1)上是无界函数。■
xx
――――――――――――――――――练习2――――――――――――――――――
1.〖解〗法1（排除法，特例法）

n
反例1：xn=(−1),yn=0→排除（A）；

反例2：xn=0,yn=n→排除（B）；

n
反例3：xn=1,yn=(−1)→排除（C）。

法2（直接法）

1
limyn=limxnyn⋅=0⋅0=0。■
n→∞n→∞
xn
――――――――――――――――――练习3――――――――――――――――――

1x2
(1−)−1
2e
1.〖解〗原式=limx==e−2。■
x→∞12
(1+)xe
x2
2.〖解〗法1（重要极限）
x−ax+ax−a
2sincossinx+a
原式=lim22=lim2⋅limcos=cosa。
x→ax−ax→ax−ax→a2
2

2012年暑期强化班讲义一元函数微积分、常微分方程练习题参考解答何先枝

法2（洛必达法则）
原式=limcosx=cosa。
x→a
法3（导数定义）

原式=(sinx)′|x=a=cosa。■

――――――――――――――――――练习4――――――――――――――――――
1.〖解〗由等价无穷小和重要极限可得：
1
xsinx1
原式=lim2=。■
x→0x22
πxπxln[1+(1−x)]1−x2
2.∵limtanln(2−x)=limsin=1⋅lim=,
x→1x→1π(x−1)x→1π(x−1)
22−sin−π
22
2
∴原式=eπ。■
―――――――――――――――――――练习5―――――――――――――――――
1.〖解〗有理化可得

2tanxtanx1
原式=lim=2lim[⋅]=1.■
x→0x(1+tanx+1−tanx)x→0x1+tanx+1−tanx

2.〖解〗利用恒等变形及连续性（lnx在x=e处）可得：
1
原式=limln(1+)x=lne=1。■
x→+∞x
――――――――――――――――――练习6――――――――――――――――――
1.〖解〗由两角和三角公式可得：

π
sin[(n2+1−n)π+nπ]=(−1)nsin.
n2+1+n

ππ
∵|(−1)n|=1（有界），limsin=sinlim=sin0=0（无穷小），
n→∞n2+1+nn→∞n2+1+n

∴由无穷小性质可得：原式=0。■

π1arctann
2.〖解〗∵|arctann|<，lim=0，∴lim=0。■
2n→∞1+n2n→∞1+n2
――――――――――――――――――练习7――――――――――――――――――

1.〖解〗设a=max{ai}，则
1≤i≤k

1
nnnnnn
∵a≤(a1+a2+L+ak)≤ka，limk=1，
n→∞

∴由夹挤准则可得：原式=max{ai}。■
1≤i≤k

2012年暑期强化班讲义一元函数微积分、常微分方程练习题参考解答何先枝

2.〖解〗法1（夹挤准则）
111
∵−1<[]≤，
xxx
11
∴①当x<0时，1−x>x[]≥1，而lim(1−x)=1，由夹逼准则可得limx[]=1；
xx→0−x→0−x
11
②当x>0时，1−x<x[]≤1，而lim(1−x)=1，由夹逼准则可得limx[]=1。
xx→0+x→0+x
1
于是，由极限与左右极限关系可得：limx[]=1。
x→0x
法2（有界函数与无穷小积）
11111111
∵x[]=x([]−+)=x([]−)+1，其中|[]−|<1（有界函数），
xxxxxxxx
111
∴limx[]=limx([]−)+1=0+1=1。■
x→0xx→0xx
――――――――――――――――――练习8――――――――――――――――――

1.〖解〗∵x=2+2+L+2+2>2+2+L+2=x，∴{x}单调增加。
n1444424444314424