江苏省梁丰高级中学2009届摸底考试数学试题(苏教版).doc

江苏省梁丰高级中学2009届摸底考试数学试题（苏教版）
考试时间150分钟
一、填空题（本题共14题，每题5分，共70分，请将正确答案填写在答题试卷上）
1、已知为实数集，，则.
2、若复数，则.
3、已知0＜a＜1，，则与1三者的大小关系是.
4、如图（下面），一个简单空间几何体的三视图其主视图与左视图是边长为2的正三角形、俯视图轮廓为正方形，则其体积是.
5、设a、b、c分别是△ABC中∠A、∠B、∠C所对边的边长，则直线与的位置关系是.
6、已知a与b均为单位向量，它们的夹角为60º，那么|a+3b|等于.
7、如图（下面）已知点F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与椭圆交于A、B两点，若△ABF2为正三角形，则该椭圆的离心率是.
8、已知函数，则方程的实根共有.
9、如果数据x1、x2、…、xn的平均值为，方差为S2，则3x1+5、3x2+5、…、3xn+5的方差为．
10、若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则的值为.
11、设奇函数在上是增函数，且．若函数，对所有的都成立，则当时，的取值范围是.
12、考察下列一组不等式：
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将上述不等式在左右两端仍为两项和的情况下加以推广，使以上的不等式成为推广不等式的特例，则推广的不等式可以是___________________.
13、若框图所给的程序运行的结果为S=132，那么判断框中
应填入的关于k的判断条件是.
14、等差数列的前项和为，公差.若存在正整数，使得，则当（）时，有（填“>”、“<”、“=”）.

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答题试卷班级姓名学号
一、填空题（本题共14题，每题5分，共70分）

1.2.3.4.5.6.7.

8.9.10.11.

12.

13．14.
二、解答题（本题6大题，共90分）
15．（本小题满分14分）
已知：，（）.
(1)求关于的表达式，并求的最小正周期；
(2)若时的最小值为5，求的值.

16．（本小题满分14分）
在平面直角坐标系，已知圆心在第二象限、半径为的圆与直线相切于坐标原点．椭圆与圆的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为．
（1）求圆的方程；
（2）试探究圆上是否存在异于原点的点，使到椭圆右焦点的距离等于线段的长，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

17．（本小题满分14分）
如图，在四棱锥中，底面，，，是的中点．
（1）证明；
（2）证明平面；

18、（本小题满分14分）
设数列的前项和为，且；数列为等差数列，且，.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，为数列的前项和.求证：.

19．（本小题满分16分）
某商品每件成本9元，售价为30元，每星期卖出432件，如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值（单位：元，）的平方成正比，已知商品单价降低2元时，一星期多卖出24件．
（1）将一个星期的商品销售利润表示成的函数；
（2）如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？

20．（本小题满分18分）
已知函数
(1)若在上单调递增，求的取值范围；
(2)若定义在区间D上的函数对于区间D上的任意两个值总有以下不等式成立，则称函数为区间D上的“凹函数”.
试证当时，为“凹函数”.

高三数学模拟试题班级姓名学号
附加题（理科考生做，本大题共4题，满分40分.考试时间30分钟）
21．（本题10分）和的极坐标方程分别为．
（1）把和的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）求经过，交点的直线的直角坐标方程．

22.（本题10分）
已知实数满足，.试求实数的取值范围.

23．（本小题满分10分）
某陶瓷厂准备烧制甲、乙、丙三件不同的工艺品，制作过程必须先后经过两次烧制，当第一次烧制合格后方可进入第二次烧制，两次烧制过程相互独立．根据该厂现有的技术水平，经过第一次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为，，，经过第二次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为，，．
（1）求第一次烧制后恰有一件产品合格的概率；
（2）经过前后两次烧制后，合格工艺品的个数为，求随机变量的期望．

24．（本小题满分10分）
右图是一个直三棱柱（以为底面）被一平面所截得到的几何体，截面为．已知，，，，．
（1）设点是的中点，证明：平面；
（2）求二面角的大小；
（3）求此几何体的体积．