高数讲义7.docx

PAGE\*MERGEFORMAT7

《高数讲义》
如图：四个同样大小的直角三角形的斜边围成一个正方形，它们的直角边围成了一个更大的正方形设直角三角形两直角边分别为斜边为c则大正方形面积;小正方形面积;直角三角形面积S△=显然有S△,即.整理得：
应用一、正弦加法定理的证明
证法一：课本中采用构造单位圆，并利用两点间距离公式的方法证明了余弦加法定理，然后利用诱导公式便证明了正弦加法定理.
证法二：事实上，还可以利用面积关系，直接证明正弦加法定理.
如图，在△ABC中.过A作AD⊥BC于D，∠BAD=，∠CAD=，∠BAC=+＜180°，从图中可得面积关系：
S△ABC=S△ABD+S△ACD即
两边同时除以得：
=
应用三、和差化积公式的证明
证法一：∵
令，则，
把的值代入得：
证法二：如图：在等腰三角形ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D，∠EAC=，∠BAE=∠CAF=，从图中可得面积关系S△ABE+S△ACE=2S△ABD即=
=两边同时除以得：

应用四：正弦定理的证明
证法一：课本中采用向量法分锐角、钝角、直角进行证明，这里不再详细说明
证法二：利用面积公式（预备定理一），我们可得如下赏心悦目的的作法：在任意三角形ABC中有同时除以得即
注:以上证明过程均是在三角形中进行的，根据三角函数的性质，可以将上述定理推广到任意角的情形.

第一章函数极限连续
一．求函数的定义域
例1.设求（1）的定义域；（2）的定义域；
（3）的定义域.
解：（1）（2）（3）
练习．设的定义域为，求的定义域.要牢记函数的两个要素：定义域和对应法则.
例2．判断下列两组函数是否是同一函数：；
二．求函数的表达式
例3．设求.
解：此种题型的常规解法是设元法，即令反解得到再代入原式，得，再将的记号全换为但此法只适用于简单函数，要学会直接凑成的方法.因为,所以，
例4．设求
解：要做此题，要求大家熟记几个三角恒等式.至少要记住两个倍角公式和三个“1”公式.
因为所以，
例5．设求.
解：首先把作整体看待
三．关于函数的几种特性（重点是奇偶性的判别）
例6．设在上有定义，证明：为偶；而为奇.
要记清两个知识点：
（1）函数为奇或偶的必要条件是其定义域关于原点对称；如没有指明定义域，则默认为比如：就是非奇非偶函数；
（2）奇偶函数的图形特征.
结论：，即一个定义在对称区间上的函数必表为奇+偶的形式.
例7．设时，且在内为奇函数，求.
解：由于在内为奇函数，所以，，又当时，所以，
例8．设是定义在内的以为最小正周期的周期函数，证明：函数是以为最小正周期的周期函数.
证明：（一）首先证明是函数的周期.事实上，设.(1)因为所以，是函数的周期.
（二）证明是函数的最小正周期.（反证法）假设存在使得对于定义域中的任意有
（2）则对于任意的实数有
这说明也是的周期，但，这与是的最小正周期相矛盾.
例9．的最小正周期为由周期函数的定义，容易知道有下面的结论：设分别是以为周期的函数，且为有理数，则是以的最小公倍数为周期的函数.
例9．证明非周期函数.
证明：（反证）设是以为周期的函数.则即上式中，分别令，得，得到矛盾.关于函数的有界性，要弄清楚函数的上界、下界和界这三个概念的区别.
四．反函数
反函数也是个常常考察的知识点，一般是以填空题或单项选择题的形式命题.没必要举例，只提醒大家注意两点：反函数的定义域是原函数的值域；反函数的图形与原函数的图形关于直线对称.
五．复合函数
首先要搞清楚初等函数、复合函数及分段函数的重要概念.这个地方有两种常见题型：一是将若干简单函数复合成一个复杂函数，这时要注意复合的条件是后面函数的值域与前面函数的定义域的交集非空.要特别注意与分段函数有关的复合；二是将复杂函数分解简单函数（大部分是基本初等函数).要求大家下去把书中第4—6页表中简单初等函数及其特性搞熟.尤其是第六页中的四种反三角函数.
例10．下列函数是否可以复合？
（1）（可以）（2）（不可以）例11．将函数分解.
六．函数的极限（包括数列的极限）
数列的极限部分只要求：1.给出，能观察出是否存在？（精确的数学定义不作要求）.要知道数列是否有极限与其前有限多项的取值无关；2.数列极限的三个性质（经常出判断题）；3.数列极限的四则运算法则.4.夹逼准则；5.单调有界原理.记住几个常用的公式：

例11．求.
解：从表面上看，是两数列差的极限，但不能直接用四则运算法则.为什么？请一块说说使用数列求极限的四则运算时应注意的三个事项.原式=
例12．求
例13．求
例14．例15．求解：此题宜用夹逼准则.
因为，且故.
注意：夹逼准则的两大功能“夹”与“逼”,要通过放大或缩小不等式来实现.要拿捏适当很不容易.比如上题，如用来夹逼就达不到目的了.
例16．求解：因为，且