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2010考研基础班高等数学讲义

主讲：汪诚义

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第一章函数、极限、连续
§1.1函数
（甲）内容要点
一、函数的概念
1.函数的定义
设D是一个非空的实数集，如果有一个对应规划f，对每一个，都能对应惟一的一个实数y，则这个对应规划f称为定义在D上的一个函数，记以y=f(x)，称x为函数的自变量，y为函数的因变量或函数值，D称为函数的定义域，并把实数集

称为函数的值域。
2.分段函数
如果自变量在定义域内不同的值，函数不能用同一个表达式表示，而要用两上或两个以上的表达式来表示。这类函数称为分段函数。
例如

是一个分段函数，它有两个分段点，x＝－1和x＝1，它们两侧的函数表达式不同，因此讨论函数y=f(x)在分段点处的极限、连续、导数等问题时，必须分别先讨论左、右极限，左、右连续性和左、右导数。需要强调：分段函数一般不是初等函数，不能用初等函数在定义域内皆连续这个定理。
3.隐函数
形如y=f(x)有函数称为显函数，由方程F（x，y）=0确定的y＝y(x)称为隐函数，有些隐函数可以化为显函数（不一定是一个单值函数），而有些隐函数则不能化为显函数。
4.反函数
如果y=f(x)可以解出是一个函数（单值），则称它为f(x)的反函数，记以。有时也用表示。
二、基本初等函数
1.常值函数y＝C（常数）
2.幂函数（α常数）
3.指数函数（a＞0，a≠1常数）
（e＝2.7182…，无理数）
4.对数函数（a＞0，a≠1常数）
常用对数
自然对数
5.三角函数

6.反三角函数

基本初等函数的概念、性质及其图像非常重要，影响深远。例如以后经常会用；；；；等等，就需要对，，的图像很清晰。
三、复合函数与初等函数
1.复合函数
设定义域U
定义域X，值域U*
如果，则是定义在X上的一个复合函数，其中u称为中间变量。
2.初等函数
由基本初等函数经过有限次四则运算和复合所构成的用一个分析表达式表示的函数称为初等函数。
四、函数的几种性质
1.有界性：设函数y=f(x)在X内有定义，若存在正数M，使都有，则称f(x)在X上是有界的。
2.奇偶性：设区间关于原点对称，若对，都有，则称在上是奇函数；若对，都有，则称在上是偶函数。奇函数的图像关于原点对称；偶函数图像关于轴对称。
3.单调性：设在上有定义，若对任意都有，则称在上是单调增加的；若对任意都有，则称在上是单调不减。
（注意：有些书上把这里单调增加称为严格单调增加；把这里单调不减称为单调增加。）

4.周期性：设在上有定义，如果存在常数，使得任意，，都有，则称是周期函数，称为的周期。
由此可见，周期函数有无穷多个周期，一般我们把其中的最小正周期称为周期。
（乙）典型例题
一、求函数的定义域
【例1】求函数的定义域。
解要有定义，，
要有定义，，
因此，的定义域为
【例2】求的定义域。
解要有定义，和
要有定义，，
因此，定义域为
【例3】设的定义域为，求的定义域。
解要求，则，
当时，，，则
当时，，
也即或
【例4】设求的定义域，并求.
解的定义域为，要求，则；要求，则，于是的定义域为。
又
二、求函数的值域
【例1】求的值域。
解我们先求出反函数，它的定义域就是原来函数的值域。

它的定义域，且
所以原来函数的值域为。
三、求复合函数有关表达式

1.已知f(x)和g(x)，求f［g(x)］.
【例1】已知，求.
解，（）
于是，（）
【例2】设，求.
n重复合
解，
若，则

根据数学归纳法可知，对正整数n，

2.已知g(x)和f[g(x)]，求f(x).
【例1】设，求f(x).
解令，

于是
【例2】已知，且，求f(x).
解令，因此，

∵，∴
四、有关四种性质
【例1】设，则下列结论正确的是（）.
（A）若f(x)为奇函数，则F(x)为偶函数
（B）若f(x)为偶函数，则F(x)为奇函数
（C）若f(x)为周期函数，则F(x)为周期函数
（D）若f(x)为单调函数，则F(x)为单调函数
解(B)不成立，反例
(C)不成立，反例
(D)不成立，反例
(A)成立。
证明为奇函数，

∴为偶函数。
【例2】求
解是奇函数，∵是奇函数，
∵

因此是奇函数。
于是。
【例3】两个周期函数之和是否仍是周期函数？
解不一定
（1）
周期为4π
周期为6π
∵4π和6π的最小公倍数为12π
∴是以12π为周期的函数
（2）
周期为π
周期为2
∵π和2没有最小公倍数
∴不是周期函数
（3）
周期为π
周期为π
虽然，不但都是周期函数，而且它们的周期有最小公倍数。
但是，却不是周期函数。（因为没有最小正周期。）
【例4】设，是恒大于零的可导函数，且，则当时，下列结论成立的是（）
(A)(B)
(C)(D