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考研讲义-高等数学.pdf

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考研讲义-高等数学 函数、连续与极限 一、理论要求1.函数概念与性质2.极限 3.连续 二、题型与解法A.极限的求法 函数的基本性质（单调、有界、奇偶、周期）几类常见函数（复 合、分段、反、隐、初等函数）极限存在性与左右极限之间的关系夹逼 定理和单调有界定理 会用等价无穷小和罗必达法则求极限函数连续（左、右连续）与间 断 理解并会应用闭区间上连续函数的性质（最值、有界、介值） （1）用定义求 （2）代入法（对连续函数，可用因式分解或有理化消除零因子） （3）变量替换法 （4）两个重要极限法 （5）用夹逼定理和单调有界定理求（6）等价无穷小量替换法 （7）洛必达法则与Taylor级数法 （8）其他（微积分性质，数列与级数的性质） 1.lim arctanxxln(12x) 3 x0 lim arctanxx 2x 3 x0 16 （等价小量与洛必达） 2.已知lim sin6xxf(x) x 3 x0 0，求lim 6f(x) x 2 x0 解：x0 lim sin6xxf(x) x 3 lim 6cos6xf(x)xy' 3x 2 x0 lim 36sin6x2y'xy'' 6x6 x0 lim 216cos6x3y''xy''' 6 x0 2163y''(0) 0y''(0)72y'2x y''2 722 lim 6f(x) x 2 x0 lim x0 lim x0 36（洛必达） 3.lim( x1 2__1 2x )x1（重要极限） 4.已知a、b为正常数，求lim( x0 3 ab 2 __ 3 )x 解：令t( ab 2 __ )x,lnt 3x [ln(ab)ln2] __ limlntlim x0 3ab x x x03/2 (alnablnb) __ 32 ln(ab) （变量替换） t(ab) 1 5.lim(cosx) x0 ln(1x) 2 1 解：令t(cosx) ln(1x) 2 ,lnt 1ln(1x) 12te 2 ln(cosx) limlntlim x0 tanx2x x0 1/2 （变量替换） 6.设f'(x)连续，f(0)0,f'(0)0，求lim x x0 2 f(t)dt x0 x0 1 f(t)dt 2 （洛必达与微积分性质） ln(cosx)x2,x0 7.已知f(x)在x=0连续，求a a,x0 解：令alimln(cosx)/x1/2（连续性的概念） x0 2 三、补充习题（作业）1.lim e1xxcos 1sinx t 2 x x0 x 1x 3（洛必达） 2.limctgx( x0 )（洛必达或Taylor） 3.lim xe x dt 2 x0 1e x 1（洛必达与微积分性质） 第二讲导数、微分及其应用 一、理论要求1.导数与微分 导数与微分的概念、几何意义、物理意义 会求导（基本公式、四则、复合、高阶、隐、反、参数方程求导） 会求平面曲线的切线与法线方程 2.微分中值定理3.应用 二、题型与解法 A.导数微分的计算基本公式、四则、复合、高阶、隐函数、参数方 程求导 dyxarctant 1.yy(x)由决定，求2t dx2ytye5 理解Roll、Lagrange、Cauchy、Taylor定理 会用定理证明相关问题 会用导数求单调性与极最值、凹凸性、渐进线问题，能画简图会计 算曲率（半径） 2.yy(x)由ln(xy)xysinx决定，求 23 dydx |x01 解：两边微分得x=0时y'ycosxy，将x=0代入等式得y=13.yy(x)由 2 B.曲线切法线问题 xy xy决定，则dy|x0(ln21)dx /2 （e4.求对数螺线e在（，）,/2)处切线的直角坐标方程。 xecos/2 解：,(x,y)|/2(0,e),y'|/21 yesin ye /2 x 5.f(x)为周期为5的连续函数，它在x=1可导，在x=0的某邻域内满 f(1+sinx)-3f(1-sinx)=8x+o(x)。求f(x)在（6，f(6)）处的切线方程。 C.导数应用问题 D.幂级数展开问题解：需求f(6),f'(6)或f(1),f'(1)，等式取x-0的极限 有：f(1)=0 lim f(1sinx)3f(1sinx) x0 sinxsinxt lim[f