2010考研数学冲刺班高等数学测试题讲义(真题答案部分).doc

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2010年考研数学冲刺班高等数学测试题
真题答案部分

主讲：汪诚义

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第一章函数、极限、连续

§1.1函数

一、选择题
1.2.3.4.5.
理由：
3.令，

,故成立。
4.设在内单调而在内不单调，故成立
5.,单调增加,
即,故成立

二、填空题
1.解：，

所以的值域为
反函数

2.解：令

于是
3.解：

4.解：令于是

三、解答题
1.解：的定义域为，要求，则，要求，则，于是的定义域为。
又
2.证：只需证明在内，，则在内就单调减少
而
用积分中值定理存在（在单调减少，故不会在端点取到）使

于是
再根据在上单调减少，故
而，则，证毕。
＊3.证：
由微分中值定理可知存在，使
于是
由，可知单调增加，故
则，所以在内单调增加
＊4.证：令，则
由于是偶函数，故只要
于是

§1.2极限
一、选择题

1.选
2.选，
3.选，
4.选
5.选，而
6.选单调，单调有界，故收敛
7.选
①不成立的反例：令，，，则，但不存在
②不成立的反例：令，，，则，而存在。
8.选原式

9.选结论都要充分大才成立，不是对任意成立，不成立，可举反例故只能成立。
10.选
，而，

二、填空题
1.解：

2.解：

3.解：原式，而
（用洛必达法则）
故原式
4.解：令
于是
对原式用洛必达法则，则
原式
解：

6.解：此题分子、分母分别求导后极限不存在，故不能用洛必达法则，
原式
7.解：用泰勒公式（当时）
故原式
8.解：分子分母都乘，则原式
9.解：原式

10.解：用数列化定积分的基本公式
原式

＊11.解：原式

三、解答题
1.解：，而极限值，故分母极限一定为，即，再由，当时，，则，因而，当时，，则，因而，这样可知
原式（用洛必达法则）

又由于
要求，从而
最后

2.解：原式
3.解：
又
，

4.解：原式

5.解：（算术平均值几何平均值）
又，则，因此单调减少，又有下界，根据准则1，存在，把两边取极限，得，，，取，于是

6.解：令，，

7.解：用两次洛必达法则
原式

＊8.解：

因此，，，，，由，可知，则

§1.3连续
一、选择题
1.选时，，时，，由此可知

故为的间断点
2.选，则有，从而
，即在处极限存在，故为可去间断点。
3.选为偶函数，且，在内，故，当时，，单调增加。由，可知在内有唯一零点，当时，，故内无零点，再由偶函数可知在内恰有两个零点。
4.选令，则，
，驻点和，因为，，所以和分别是的惟一极大值和惟一极小值，而且在内，故单调增加，内，单调减少，内，单调增加，因此曲线与水平直线恰有两个不同交点，即，有两个不同零点。

二、填空题
1.解

又，根据在处连续，可知
2.解：，，故，
又，，
3.解：由于在处连续，且，所以

三、解答题
1.解，

，
，

在皆连续
2.证明：令，则，，又在上连续，根据介值定理推论在内至少有一个零点，故至少有一个不超过的根。
3.解一：先写出的表达式，考察的值域：
，，
即，亦即
当时分别在不同的区间与某初等函数相同，故连续。当时，分别由左、右连续得连续，当时，，。
从而在不连续且是第一类间断点（跳跃间断点）。
解二：注意，从而处处连续；
当时连续，由复合函数连续性可知，当即时，连续，对，有

从而为的第一类间断点（跳跃间断点）。
＊4.证：令，，在上连续，，，，故
如果，，有一个等于0，则，使成立，即成立，如果，，全不为0，那么不可能同号，否则相加不能为0，对异号的两个自变量构成区间上，用介值定理推论，可知存在属于该区间（当然包含在内）使同样成立。

第二章一元函数微分学

§2.1导数与微分

一、选择题
1.选，而选项只表明在处右导数存在，对选项，若取，则，成立，但在处不连续，故不存在。
2.选首先，故在处连续，其次却不存在，取，则，，取，，而，由此可知在处连续而不可导。
3.选时，，；时，，；时，，，，可知时，不可导。
4.选关于不成立举例，故则可知，关于不成立，举反例，故，，但，故不成立。
5.选周期为，，
而
6.选由可知严格单调增加，由可知是凹的，又，故成立。
7.选由条件可知是奇函数，又由在内，，可知是单调增加，且向上凹的。因此在内，也单调增加，但向上凸的，于是可知在内，，。

8.选由可知，（时无意义故舍去）
时，，，法线方程
令，得

二、填空题
1.应填

2.应填

3.应填，
4.应填设曲线轴切点为，则，，又切点在曲线上，则，，故
5.应填
∵
∴

6.应填，，
由与有交点故，
即，又因与在处有公共切线则
即，故，

三、解答题
1.解：根据麦克劳