2012考研高数冲刺班讲义-武忠祥 完结.pdf

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2012考研数学冲刺班·高等数学讲义

主讲：武忠祥

第一章函数、极限、连续

1.极限

例1设有数列xn与yn，以下结论正确的是

（A）若limxnyn=0，则必有limxn=0或limyn=0；
n→∞n→∞n→∞

（B）若limxnyn=∞，则必有limxn=∞或limyn=∞；
n→∞n→∞n→∞

（C）若xnyn有界，则必有xn与yn都有界；

（D）若xnyn无界，则必有xn无界或yn无界；

例2设limϕ(x)=0,则下列命题
x→0

1
sinϕ(x)
（1）lim=1（2）lim(1+ϕ(x))ϕ()x=e
x→0ϕ()xx→0

f(x0+ϕ(x))−f(x0)
（3）若f′(),x0=A则lim=A
x→0ϕ()x

（4）若limf(u)=A,则limf[ϕ(x)]=A
u→0x→0
中正确的个数为
（A）0个；http://shop35250918.taobao.com（B）2个；（C）3个；（D）4个；
例3已知曲线y=f()x在点)0,0(处的切线过点)2,1(，则

1
x
lim[cosx+f(t)dt]x2=_____.
x→0∫0

1
解应填e2

由题设知f(0)=0,f′(0)=2.本题所求极限是“1∞”型，而

1
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xx
cosx−1+f(t)dtf()tdt
∫0cosx−1∫0
lim=lim+lim
x→0x2x→0x2x→0x2
1f()x1f′(0)1
=−+lim=−+=
2x→02x222

11
x2
则lim[cosx+f()]tdtx=e2
x→0∫0

11
例4极限lim[−]=__________.
x→0ln(x+1+x2)ln(1+x)

11ln(1+x)−ln(x+1+x2)
解lim[−]=lim
x→0ln(x+1+x2)ln(1+x)x→0ln(1+x)ln(x+1+x2)

ln(1+x)−ln(x+1+x2)
=lim(ln(x+1+x2)~x)
x→0x2

11
−
1+x21+x2−1−x1
=lim1+x=lim=−
x→02xx→02x2
sinxf(x)
例5已知函数f()x在x=0的某邻域内可导，且lim(+)=2，
x→0x2x
x
试求f(0),f′(0)及lim.
x→0f()x+ex
sinxf(x)
解1由于lim(+)=2
x→0x2x
sinxf(x)sinx
则lim(+)⋅x=0，lim[+f(x)]=0
x→0x2xx→0x
即1+f(0)=0，从而f(0)=−1
sinxf(x)sinx+xf(x)[sinx−x]+x[f(x)−f(0)]
则lim(+)=lim=lim=2
x→0x2xx→0x2x→0x2
sinx−x
由于limhttp://shop35250918.taobao.com=0，则
x→0x2
x[f(x)−f(0)]f(x)−f(0)
lim=lim=2
x→0x2x→0x
则f′(0)=2

x111
lim=lim==
x→0f()x+exx→0f(x)+1ex−1f′(0)+13
+
xx

解2在x=0处，f()x和sinx的泰勒展开式为

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f(x)=f(0)+f′(0)x+o(x)，

sinx=x+o(x2).
sinxf(x)sinx+xf(x)
2=lim(+)=lim
x→0x2xx→0x2
x+o(x2)+x[f(0)+f′(0)x+o(x)]
=lim
x→0x2

x[1+f(0)]+f′(0)x2+o(x2)
=lim
x→0x2

则1+f(0)=0,f′(0)=2.

即f(0)=−1,f′(0)=2.

xxx1
lim=lim==
x→0f()x+exx→0[f(0)+f′(0)x+ο(x)]+[1+x+ο(x)]3x+ο(x)3

注解本题时一开始就用洛必达法则：
sinxf(x)sinx+xf(x)cosx+f(x)+xf′(x)
2=lim(+)=lim=lim.
x→0x2xx→0x2x→02x
似乎也可得到f(0)=−1，但这样做是错误的.其原因是对洛必达法则的条件理解不透.即

我们并不知道
cosx+f(x)+xf′(x)
lim
x→02x
是否存在