2013海天考研高数基础班讲义-武忠祥.pdf

2013年考研数学基础班讲义

（高等数学）

第一章函数极限连续
一、函数
1函数的概念（定义域，对应法则，值域）
2函数的性态：
单调性奇偶性周期性有界性
有界性：
定义：若∃M>0,使得∀x∈I,恒有f(),x≤M则称f()x在I上有界。
3复合函数与反函数(求复合函数和反函数）
4基本的初等函数与初等函数
1）基本初等函数:
将幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数统称为基本初等函数。
了解它们的定义域、性质、图形.
2）初等函数：
由常数和基本初等函数经过有限次的加、减、乘、除和复合所得到且能用一个解析
式表示的函数.
常考题型：
1.函数有界性、单调性、周期性及奇偶性的判定；

2.复合函数；

例1f(x)=|xsinx|ecosx(−∞<x<+∞)是
（A）有界函数.（B）单调函数.（C）周期函数（D）偶函数.
例2已知f(x)=sinx,f[]ϕ(x)=1−x2,则ϕ(x)=______的定义域为_______.

解：arcsin(1−x2)；[−2,2].

⎧2−x,x≤0,⎧x2,x<0,
例3设g()x=⎨f()x=⎨则g[f()x]=________.
⎩x+2,x>0,⎩−x,x≥0

⎧2+x2,x<0,
解g[f(x)]=⎨
⎩2+x,x≥0.
二、极限
1极限的概念

1

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1）数列极限:

liman=A：∀ε>0,∃N>0,当n>N时，恒有|an−A|<ε.
n→∞
2）函数极限:
（1）limf(x)=A：∀ε>0,∃X>0,当|x|>X时，恒有
x→∞

|f(x)−A|<ε.

类似的定义limf(x)=A，limf(x)=A。
x→−∞x→+∞

limf(x)=A⇔limf(x)=limf(x)=A
x→∞x→−∞x→+∞

（2）limf(x)=A：∀ε>0,∃δ>0,当0<|x−x0|<δ时，恒有
x→x0

|f(x)−A|<ε。

左极限：limf(x)=f()x−(或f(x−0)）
−00
x→x0
右极限：limf(x)=f()x+(或f(x+0)）
+00
x→x0
limf(x)=A⇔limf(x)=limf(x)=A
−+
x→x0x→x0x→x0
几个值得注意的极限：

111+x2
limex,limarctan，limex,limarctanx,lim.
x→0x→0xx→∞x→∞x→∞x
2极限的性质

1）局部有界性若limf(x)存在，则f()x在x0某去心邻域有界。
x→x0

2）保号性设limf(x)=A
x→x0

o
（1）如果A>0,则存在δ>0,当x∈U(,)x0δ时，f(x)>0.

o
（2）如果当x∈U(,)x0δ时,f(x)≥0,那么A≥0.

3）有理运算性质若limf(x)=A,limg(x)=B.

那么:lim[f(x)±g(x)]=limf(x)±limg(x)=A±B

lim[f(x)g(x)]=limf(x)⋅limg(x)=A⋅B

⎛f()x⎞limf(x)A
lim⎜⎟==(B≠0)
⎝g()x⎠limg(x)B

2
f()x
两个常用的结论：1）lim存在，limg(x)=0⇒limf(x)=0;
g()x

f()x
2）lim=A≠0,limf(x)=0⇒limg(x)=0;
g()x
4）极限值与无穷小之间的关系;

limf(x)=A⇔f(x)=A+α(x).其中limα(x)=0.
注：数列极限也有以上对应的四条性质。
3极限的存在准则

1）夹逼准则：若存在N，当n>N时，xn≤yn≤zn，且limxn=limzn=a,则limyn=a.
n→∞n→∞n→∞
2）单调有界准则：单调有界数列必有极限。
4常用的基本极限
sinx11
lim=1,lim(1+x)x=e,lim(1+)x=e
x→0xx→0x→∞x
ln(1+x)ex−1ax−1
lim=1,lim=1,lim=lna
x→0xx→0xx→0x

(1+x)α−1
lim=α,limnn=1.
x→0xn→∞
5无穷小量

1）无穷小量的概念:若limf(x)=0，则称f()x为x→x0时的无穷小量.
x→x0

2）无穷小的比较:设limα(x)=0,limβ(x)=0，且β(x)≠0.

α()x
（1）高阶：若lim=0；记为α(x)=ο(β(x));
β()x

α()x
（2）同阶：若lim=C≠0；
β()x

α()x
（3）等价：若lim=1；记为α(x)~β(x);
β()x

http://shop35250918.taobao.comα()x
（4）无穷小的阶:若lim=C≠0，称α()x是β()x的k阶无