2014年强化班讲义一元函数微积分练习参考解答.doc

第一章函数、极限与连续
练习1
1.解：当时，，从而；
当时，，从而；
当时，，从而。
于是
2.因为对任意大的正数，总存在点，使得
，
故在区间上是无界函数。
练习2
1.解：法1（排除法，特例法）
反例1：，排除（A）;
反例2：，排除（B）；
反例3：，排除（C）。
法2（直接法）。
练习3
1.解：原式。
2.解：原式。
练习4
1.解：由等价无穷小和重要极限可得
原式。
2.，
原式。
练习5
1.解：有理化可得
原式。
2.解：利用恒等变形及连续性（在处）可得
原式。
练习6
1.解：，，由无穷小性质可得，。
2.解：，，。
练习7
1.解：设，则
，，由夹挤准则可得：原式。
2.解：法1（夹挤准则），
=1\*GB3①当时，，而，由夹逼准则可得；
=2\*GB3②当时，，而，由夹逼准则可得。
综上可得，。
法2（有界函数与无穷小积）
，其中（有界函数），
。
练习8
1.解：①由，知与同号，以此类推，与同号，单调增加。
②，一般地，，
有上界。
于是，由单调有界准则可得：收敛。
③设，则在关系式中求极限可得：，解得：。
故。
练习9
解：，，
不存在。
练习10
1.解：，。
2.解：，且，
。故。

，
又因为，，解得，。
从而，。
练习11
1.解：函数是初等函数，其间断点是其分母为零的点：。
，
，
为函数的第一类间断点，且为跳跃间断点。
，
为函数的第二类间断点，且为无穷间断点。
，
为函数的第一类间断点，且为可去间断点。
2.答案：选（B）。
解：
进而可知为跳跃间断点，所以选（B）。
练习12
证：由题意知在上连续，在上存在最大值与最小值。
，，即。
由介值定理可得：存在，使得。
2.证：设，则在内连续，注意到
，，，
故由零点定理知：方程在，内各至少存在一个根，即方程至少有两个不同的实根。
练习13
1.解：①，，，故曲线有垂直渐近线和。
②，
，
曲线有斜渐近线。
2.解：，
为水平渐近线。
第二章一元函数微分学
练习1
1.解：存在，
。
2.解：①确定不可导点范围
，的可能不可导点为和。
②判断点处的可导性
记，则连续，且，所以
在处不可导。
③判断点处的可导性
记，则连续，且，所以
在处可导。
练习2
1.解：由导数定义可得
。
2.解：由导数定义及复合函数求导法则可得
，
原式。

练习3
解：，
。
练习4
1.解：由取对数得，两边同时对求导，视为的函数
，
解得，于是。
2.解：。
练习5
1.解：，。
练习6
1.解：
当时，；当时，；
当时，
，
，
，故在处不可导，即不存在。于是
。
评注：左右可导，函数未必可导，但一定连续。

练习7
1.解：
，
。
2.解：，

。
练习8
1.解：设切点为，则，，解得，因此切点为和，且
，，
进而所求的切线方程为和。
2.解：对应于极坐标点的，直角坐标为。
由参量函数求导可得，因此所求法线的直角坐标表示为。

练习9
1.解：由微分公式与法则可得
。
2.解：。
练习10
1.证：作辅助函数。则在上连续，且，，由零点定理知：存在，使得。
又在上连续，在内可导，且，由罗尔定理知：存在，使得，即。
练习11
1.解：分母用等价无穷小：；分子展成阶麦克劳林公式：
，
故原式。
2.解：

。
练习12
1.解：。
2.证：原式

。
3.解：，所以。
练习13
，。
当时，取可得：，故。
注：原题中“”改为“”。当时，。
练习14
1.解：，
当为偶数时，，故，没有极值；
当为奇数时，故，有极大值（也是最大值）。
2.解：在方程两边对求导：，=1\*GB3①
令，得。将其代入原方程解得，且。
在=1\*GB3①式两边对再求导：=2\*GB3②
（1）将代入=2\*GB3②式，得，所以取极小值；
（2）将代入=2\*GB3②式，得，所以取极大值
。
练习15
1.答案：选（B）。
解：，在中取可得
（分和两种情况讨论），
为的极小值。
2.答案：选（C）。
解：，，是曲线的拐点。
练习16
1.解：定义域：；连续函数；在处不可导，其余点处均可导。
且，，
，。没有最大值与最小值。
练习17
1.证：单调性法。注意到均为奇函数，故只需证明。
设，则
，
故，从而，对任意，均有，即。
2.证：最值法。设函数，转化为求在内的最大值。

，故，即当时，。
3.证：凹凸性法。
，曲线在上为凹曲线，进而弦在曲线段的上方。
又，故点和在曲线上，因此弦的方程为
从而，对任意的，。
练习18
1.解：定义域：。当时，水平渐近线为。
在内单增，在内单减，极大值（也是最大值）。
在为凸曲线，在内为凹曲线，为拐点。
又曲线过点和，故的图形如右图。
练习19
1.解：如图，当时，方程无实根；
当及时，方程仅有一个实根；
当时，方