考研数学强化班讲义-微积分第10讲.pdf

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第10讲曲线积分与曲面积分

(一)考纲要求:

z考试内容

1．两类曲线积分的概念、性质及计算两类曲线积分的关系,

格林（Green）公式.

2．平面曲线积分与路径无关的条件已知全微分求原函数.

3．两类曲面积分的概念、性质及计算两类曲面积分的关系

高斯（Gauss）公式,斯托克斯（Stoke）公式

4．散度、旋度的概念及计算曲线积分和曲面积分的应用.

z考试要求

1．理解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积

分的关系。

2．掌握计算两类曲线积分的方法。

3．掌握格林公式并会运用平面曲线积分与路径无关的条件，会求全微

分的原函数。

4．了解两类曲面积分的概念、性质及两类曲面积分的关系，掌握计算

两类曲面积分的方法，5．用高斯公式、斯托克斯公式计算曲面、

曲线积分。

6．了解散度与旋度的概念，并会计算。
(二)内容提要:梦飞翔考研论坛
1．第一、第二类曲线的定义、背景与性质。www.mfxky.cn
z第一类曲线积分：设弧段pAB(记作L)是R3中的一条逐段光滑

的曲线,函数f(x,y,z)定义在L上.把L任意地分成n个子弧段,

q,,每一段子弧段的弧长分别
PPi−1ii=1,2,",n,P0=A,Pn=B

为Δli,在每一子弧段上分别任取一点Qi(ξi,ηi,ςi),作Riemann和

n
,记.如果当
∑f(ξi,ηi,ςi)Δliλ=max{}Δl1,Δl2,",Δlnλ→0
i=1

时,上述Riemann和的极限存在,且该极限值与子弧段的分法和点的

谭泽光1

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取法无关,则称该极限为函数f(x,y,z)在曲线pAB(L)上的第一

类曲线积分,记作

n

f(,xyzdl,)==f(,xyzdl,)limf(ξηςiii,,)Δli
∫∫ABmLλ→0∑
i=1

f(x,y,z)为被积函数,pAB(L)为积分路径,dl为弧微分,dl>0.

z第二类曲线积分:向量函数
G
Fxyz(,,)=(Xxyz(,,),(,Yxyz,),(,Zxyz,))

定义在空间区域Ω⊂R3中的一条逐段光滑的有向弧段pAB(记作L)

GG∩
上.L的方程为rrtxtytzt=()=((),(),()).把有向弧段AB从A

到任意地分成个子有向弧段,q,
BnPPi−1ii=1,2,",n,
GJJJJJK
P0=A,Pn=B,记Δ=lPPiii−1=Δ(,,)xyziiiΔΔ.在每一段子有向

弧段上分别任取一点Qi(ξi,ηi,ςi)(参数为ti),作Riemann和

nGGGGG
再记".
∑F(ξηςiii,,)⋅Δliλ=ΔΔΔmax{ll12,,,ln}
i=1

如果当λ→0时,上述Riemann和的极限存在,且该极限值与子弧段
G
的分法和点的取法无关,则称该极限为函数F(x,yz,)在有向曲线

∩
AB(L)上从A到梦飞翔考研论坛B的第二类曲线积分,记作

BBGG
F(,,)xyz⋅=dlX(,,)xyzdxYxyzdyZxyzdz+(,,)+(,,)
∫∫LA()LA()www.mfxky.cn

n

=Δ+Δ+Δlim[]X(,,)ξηςiiixYi(,,)ξηςiiiyZi(,,)ξηςiiizi
λ→0∑
i=1

G∩
函数F(x,yz,)为被积函数,有向曲线AB(L)为有向积分路径,
G
dl为有向弧微分:
G
在空间:dl=(,,)dxdydz;
G
在平面上,dl=(,)dxdy.

谭泽光2

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2．两类曲线积分之间的关系
G
∫((,,),(,,),(,,))XxyzYxyzZxyz⋅dl=
L+
G
=⋅(X(,,),(,,),(,,))xyzYxyzZxyzτdl
∫()0
L
3．第二类曲线的几种表达式
∫X(,,)xyzdxYxyzdyZxyzdz++(,,)(,,)
+
LG
=⋅∫(X(xyz,,),Yxyz(,,),Zxyz(,,))dl
L+
G
=⋅(X(,,),(,,),(,,))xyzYxyzZxyzτdl
∫()0
L
4．第一类曲线积分的计算

⎧x=x(t)
⎪
设曲线L的参数方程为⎨y=y(t)t∈[]α,β
⎪
⎩z=z(t)

又设f(x,y,z)在曲线L上连续,则弧长微分

dl=[][][]x′(t)2+y′(t)2+z′(t)2dt,

第一类曲线积分可按下式计算：

β
f(x,y,z)dl=f(x(t),y(t),z(t))[][][]x′(t)2+y′(t)2