2011武忠祥高数冲刺讲义.pdf

2011年考研冲刺班讲义（高等数学）

主讲：武忠祥
一、函数、极限、连续

例1设有数列xn与yn，则以下结论正确的是

（A）若limxnyn=0，则必有limxn=0或limyn=0；
n→∞n→∞n→∞

（B）若limxnyn=∞，则必有limxn=∞或limyn=∞；
n→∞n→∞n→∞

（C）若xnyn有界，则必有xn与yn都有界；

（D）若xnyn无界，则必有xn无界或yn无界；

例2设limϕ(x)=0,则下列命题
x→0

1
sinϕ(x)
（1）lim=1（2）lim[1+ϕ(x)]ϕ()x=e
x→0ϕ()xx→0

f[x0+ϕ(x)]−f(x0)
（3）若f′(),x0=A则lim=A
x→0ϕ()x

（4）若limf(u)=A,则limf[ϕ(x)]=A
u→0x→0
中正确的个数为
（A）0个；（B）2个；（C）3个；（D）4个；
3
例3极限limln(1+2x)ln(1+)=.
x→+∞x
3ln(1+2x)2xln2
解1原式=lim=3lim=3ln2.
x→+∞xx→+∞1+2x
1
3[xln2+ln(1+x)]
解2原式=lim2=3ln2.
www.jiutian001.comx→+∞x
例4已知曲线y=f()x与y=sin2x在(0,0)点相切，则

1

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1
x
lim[cosx+f(t)dt]x2=_____.
x→0∫0

1
解应填e2

由题设知f(0)=0,f′(0)=2.本题所求极限是“1∞”型，而

xx
cosx−1+f(t)dtf()tdt
∫0cosx−1∫0
lim=lim+lim
x→0x2x→0x2x→0x2
1f()x1f′(0)1
=−+lim=−+=
2x→02x222

11
x
则lim[cosx+f()]tdtx2=e2
x→0∫0

αxα8
例5已知lim=则α=.
x→01+xtanx−cosx3

αxα2αxα8
解：lim=lim=.
x→01+xtanx−cosxx→0xtanx+1−cosx3

则α=2.
11
n+n+
n+1n
例6求极限2
lim[22+22+L+22].
n→∞1+n2+nn+n
11
nn+
1111n+1+
解[+++][<+2++n]
12Ln2222L22
n1+()21+()21+()21+n2+nn+n
nnn
n+1111
<[+++]
212Ln
n1+()21+()21+()2
nnn
111111π
lim[+++]=dx=
n→∞12Ln∫02
n1+()21+()21+()21+x4
nnn
www.jiutian001.com11
nn+
n+1+π
则2n
lim[22+22+L+22]=
n→∞1+n2+nn+n4

2

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xx−(sinx)x
例7求极限。
lim2
x→0+xln(1+x)
sinx
xx[()x−1]
解原式x
=−lim3
x→0+x
sinx
xln
ex−1
（x
=−lim3limx=1)
x→0+xx→0+
sinxsinx−x
lnln(1+)
xx

=−lim2=−lim2
x→0+xx→0+x
sinx−xcosx−1

=−lim3=−lim2
x→0+xx→0+3x
1
x2
1
=lim2=.
x→03x26
f()xsin2x
例8设f()x连续，lim=1，且当x→0时f()tdt是x的n阶无穷
x→01−cosx∫0
小，则n等于
（A）3；（B）4；（C）5；（D）6.
解1直接法
f()xf()x1
由lim=1知lim=1.即f(x)~x2
x→0x→01
1−cosxx22
2
sin2x
f(t)dt2
∫0f(sinx)sin2x
lim=lim
x→0xnx→0nxn−1

14
sinx⋅2x4
x⋅x
=lim2=lim=a≠0.
x→0nxn−1x→0nxn−1
则n=6.
解2排除法：

www.jiutian001.comf()x12
由lim=1知，取f()x=x.显然f()x符合题设条件。
x→01−cosx2
sin22xxsin111
f(t)dt=t2dt=sin6x~x6.
∫∫00266
3

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则（A）（B）（C）均不正确，故应选（D）

⎧xx+1
⎪x≠0
例9求函数f()x=⎨ln|x|的间断点并指出类型.
⎩⎪1x=0

xx+1
解x=1,lim=