2013数学分析考研大纲.doc

2013硕士研究生入学考试考试大纲
考试科目：数学分析
考试形式和试卷结构
一、试卷满分及考试时间
试卷满分为150分，考试时间为180分钟．
二、答题方式
答题方式为闭卷、笔试．
三、试卷内容结构
一元微积分学约50％
多元微积分学约20％
无穷级数约30％
四、试卷题型结构
试卷题型结构为：
叙述和证明题5个题，每题15分
计算题4个题，每题15分
讨论题1个题，每题15分

一、函数、极限、连续
考试内容
实数域及性质几种主要不等式及应用邻域上确界下确界确界原理函数复合、基本初等函数、初等函数及某些特性（单调性、周期性、奇偶性、有界性等）数列极限的定义收敛数列的若干性质（惟一性、保序性等）数列收敛的条件（单调有界原理、迫敛法则、柯西准则等）“ε-δ”语言叙述各类型函数极限函数极限的若干性质函数极限存在的条件（归结原则，柯西准则，左、右极限、单调有界）应用两个特殊极限求函数的极限无穷小（大）的定义、性质、阶的比较在一点连续的定义及其等价定义间断点定以及分类区间上连续的定义，用左右极限的方法求极限在一点连续性质及在区间上连续性质初等函数的连续性。
考试要求

1.了解实数域及性质。
2.掌握几种主要不等式及应用。
3.熟练掌握领域，上确界，下确界，确界原理。
4.牢固掌握函数复合、基本初等函数、初等函数及某些特性（单调性、周期性、奇偶性、有界性等）。
5.熟练掌握数列极限的定义。
6.掌握收敛数列的若干性质（惟一性、保序性等）。
7.掌握数列收敛的条件（单调有界原理、迫敛法则、柯西准则等）。
8.熟练掌握使用“ε-δ”语言，叙述各类型函数极限。
9.掌握函数极限的若干性质。
10.掌握函数极限存在的条件（归结原则，柯西准则，左、右极限、单调有界）。
11.熟练应用两个特殊极限求函数的极限。
12.牢固掌握无穷小（大）的定义、性质、阶的比较。
13.熟练掌握在一点连续的定义及其等价定义。
14.掌握间断点定以及分类。
15.了解在区间上连续的定义，能使用左右极限的方法求极限。
16.掌握在一点连续的函数的性质及在区间上连续的函数的性质。
17.了解初等函数的连续性。
二、一元函数微分学
考试内容
导数的定义几何、物理意义求导法则、求导公式各类函数的导数和高阶导数微分的概念并会用微分进行近似计算连续、可导、可微的关系微分中值定理及应用洛比达法则未定式极限单调与导数符号的关系单调区间极值凹凸性及拐点凸函数及性质曲线各种类型的渐近线性方程近似解的牛顿切线法区间套、柯西列、聚点、等概念刻划实数完备性的几个定理的等价性
考试要求

1.熟练掌握导数的定义，几何、物理意义。
2.牢记求导法则、求导公式。
3.会求各类函数的导数和高阶导数。
4.掌握微分的概念，并会用微分进行近似计算。
5.理解连续、可导、可微的关系。
6.牢固掌握微分中值定理及应用。
7.会用洛比达法则求未定式极限。
8.掌握单调与导数符号的关系，并用它证明函数单调，不等式、求单调区间、极值等。
9.会判定凹凸性及拐点。
10.了解凸函数及性质
11.会求曲线各种类型的渐近线性。
12.了解方程近似解的牛顿切线法。
13.掌握区间套、柯西列、聚点、子列等概念。
14.了解刻划实数完备性的几个定理的等价性，并掌握各定理证明。
15.会用上述定理证明其他问题。
三、一元函数积分学
考试内容
原函数与不定积分的概念基本积分公式换元法、分部积分法有理函数积分可化为有理函数的积分定积分定义性质可积条件可积类微积分基本定理定积分广义积分收敛定义及判别法各种平面图形面积旋转体或已知截面面积的体积孤长曲率旋转体的侧面积微元法反常积分收敛定义及判别法考试要求

1.掌握原函数与不定积分的概念。
2.记住基本积分公式。
3.熟练掌握换元法、分部积分法。
4.了解有理函数积分步骤，并会求可化为有理函数的积分。
5.掌握定积分定义、性质。
6.了解可积条件，可积类。
7.深刻理解微积分基本定理，并会熟练应用。
8.熟练计算定积分。
9.掌握广义积分收敛定义及判别法，会计算广义积分。
10.熟练计算各种平面图形面积。
11.会求旋转体或已知截面面积的体积。
12.会利用定积分求孤长、曲率、旋转体的侧面积。
13.会用微元法求解某些物理问题。掌握反常积分收敛定义及判别法，会计算反常积分。
四、多元函数微分学
考试内容
平面点集的若干概念二元函数二重极限定义、性质二次极限，二重极限与二次极限的关系二元连续函数的定义、可微，偏导的意义二元函数可微，偏导，连续以及偏导函数连续各种类型的偏导全微分空间曲面的切平面法线空间曲线的法平面与切线函数的方向导数与梯度二元函数的泰勒展式及无条件极值由一个方程确定的隐函数的条件隐函数性质隐函数的导数公式隐函数组
空间曲线的切线与法平面空间曲面的切平面与法线条件极值的拉格