北林考研大纲-数学分析.doc

《数学分析》考试大纲
一、考试的性质
数学分析是大学数学系本科学生的最基本课程之一，也是大多数理工科专业学生的必修基础课。为帮助考生明确考试范围和有关要求，特制订出本考试大纲。
本考试大纲主要根据北京林业大学数学与应用数学本科《数学分析》教学大纲编制而成，适用于报考北京林业大学数学学科各专业（基础数学、概率论与数理统计、计算数学、应用数学）硕士学位研究生的考生。
二、考试内容和基本要求
1．实数集与函数
（1）确界概念，确界原理
（2）函数概念与运算，初等函数
要求：理解确界概念与确界原理，并能运用于有关命题的运算与证明。深刻理解函数的意义，掌握函数的四则运算。
2．数列极限
（1）数列极限的ε一N定义
（2）收敛数列的性质
（3）数列的单调有界法则，柯西收敛准则，重要极限
要求：深刻理解数列极限的ε一N定义，并会运用它验证给定数列的极限；掌握数列极限的性质，并会运用它证明或计算给定数列的极限；掌握数列极限存在的充要条件与充分条件，并能运用这些条件证明或判断数列极限的存在性；掌握重要极限并能运用它计算某些数列极限。
3．函数极限
(1)函数极限的ε一M定义和ε一δ定义，单侧极限
(2)函数极限的性质
(3)海涅定理（归结原则），柯西收敛准则，两个重要极限
(4)无穷小量与无穷大量的定义、性质，无穷小（大）量阶的比较
要求:理解各类函数极限的定义，并能按定义验证给定的函数极限；掌握函数极限的性质，并能用它证明或计算给定的函数极限。掌握函数极限的归结原则，并能用它来判断函数极限的存在性和计算某些数列极限。掌握函数极限的柯西准则，了解单侧极限的单调有界定理；熟练掌握两个重要极限，并运用它们进行有关函数极限的计算；掌握各类无穷小量与无穷大量的定义与性质，理解无穷小（大）量的阶的概念。
4．函数的连续性
(1)函数在一点连续，单侧连续和在区间上连续的定义，间断点的类型
(2)连续函数的局部性质。复合函数的连续性，反函数的连续性。闭区间上连续函数的性质。
(3)一致连续的定义，初等函数的连续性
要求:深刻理解函数连续性概念，掌握间断点的概念及分类；掌握连续函数的局部性质以及复合函数和反函数的连续性，掌握闭区间上连续函数的性质；理解函数在区间上一致连续概念，并能用定义验证给定函数在某区间上为一致连续或非一致连续。
5．导数与微分
(1)导数的定义，导数的几何意义
(2)导数四则运算、反函数导数、复合函数导数，求导法则与求导公式
(3)参数方程所确定的函数的导数，高阶导数
(4)微分概念、微分基本公式，微分法则，一阶微分形式的不变性。微分在近似计算中的应用，高阶微分
要求:深刻理解导数概念，并能用定义求某些函数在一点的导数，清楚可导与连续的关系；掌握求导法则与技巧，能熟练地用它们计算可导函数的导数；理解可微性概念，并能用于近似计算。理解高阶导数的概念，掌握计算方法。掌握参数方程所确定函数的求导方法。
6．微分中值定理及其应用
(1)费马定理，罗尔定理，拉格朗日定理
(2)柯西中值定理，罗比达法则，不定式极限
(3)泰勒公式
(4)函数的单调性、凸性与拐点、极值与最值
(5)渐近线，函数作图。
要求：深刻理解中值定理的分析意义与几何意义，会证明中值定理，学会用作辅助函数证明问题的方法。会用中值定理论证问题；熟练掌握罗比达法则，并能迅速准确地计算出各种不定式极限；理解泰勒定理的内容与意义，会用泰勒公式解题；掌握应用导数研究函数单调性、极值和凹凸性的方法。知道描绘函数图象的步骤和方法。
7．实数的完备性
（1）区间套定理，柯西收敛准则，聚点定理，有限覆盖定理，致密性定理
（2）闭区间上连续函数的性质及证明
要求：理解描绘实数完备性的几个定理的意义，并能运用它们论证一些理论问题。掌握闭区间上连续函数的性质和有关命题证明的技巧。
8．不定积分
（1）原函数与不定积分的概念，基本积分表，线性运算法则
（2）换元积分法，分部积分法
（3）有理函数的积分法。可化为有理函数的某些类型函数的积分
要求：掌握原函数与不定积分概念、不定积分的运算法则；掌握换元积分法与分部积分法、分解有理函数为部分分式的方法；掌握某些可有理化函数的不定积分的求法。
9．定积分
（1）定积分的概念，牛一莱定理
（2）可积的必要条件，达布上下和，可积的充要条件，可积函数类
（3）定积分的性质：线性性质，区间可加性，单调性，绝对可积性，积分第一、第二中值定理
（4）微积分学基本定理。换元积分法与分部积分法。泰勒公式的积分型余项
要求：深刻理解定积分的概念与意义。理解可积分的必要条件、充要条件，初步掌握判断函数是否可积的基本方法；熟练掌握定积分的性质，并能用它证明某些有关问题；深刻理解微积分学基本定理的意义，并具有应用它证明有关定积分问题的能力；熟练掌握与应用牛一莱公式，熟练掌握计算定积分的