高等数学A1 A2考试大纲(2010).doc

《高等数学A》考试大纲
一、总要求
学生应了解或理解《高等数学A》中函数、极限和连续、一元和多元微积分、空间解析几何、无穷级数、常微分方程的基本概念与基本理论；学会应用变量数学的方法分析和研究自然现象中的数量关系，能运用基本概念、基本理论和基本方法进行推理证明及计算、能综合运用所学知识分析并解决实际问题。
本大纲对内容要求的高低用不同词汇加以区分；对概念和理论从高到低分“理解”、“了解”（或“知道”）两个层次；对方法和运算从高到低分“掌握”、“会”两个层次。
第一部分高等数学A1部分
函数与极限
考试内容:映射和函数；数列的极限；函数的极限；无穷小、无穷大；极限运算法则；
极限存在准则、两个重要极限；无穷小的比较；函数的连续性与间断点；连续函数的运算与初等函数的连续性；闭区间上连续函数的性质。
考试要求:
1．理解函数的概念，掌握函数的表示法,会建立简单应用问题中的函数关系式。
2．了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性。
3．理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数的概念。
4．掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念。
5．理解极限的概念，理解函数左、右极限的概念，以及极限存在与左、右极限之间的关系。
6．掌握极限的性质及四则运算法则。了解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限的方法。
7．理解无穷小、无穷大以及无穷小的阶的概念，会用等价无穷小求极限。
8．理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。
9．了解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质（最大值、最小值定理、零点定理与介值定理），并会应用这些性质。
第二章导数与微分
考试内容：导数的概念；函数的求导法则；高阶导数；隐函数及由参数方程所确定的函数的导数；相关变化率；函数的微分。
考试要求：
1．理解导数概念及导数的几何意义,会求平面曲线的切线方程和法线方程.理解函数的可导性与连续性之间的关系。
2.掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法,掌握基本初等函数的导数公式。
3．会求分段函数的一阶导数；会求隐函数和由参数方程所确定的函数的一阶、二阶导数,会求反函数的导数。
4.了解高阶导数的概念,会求简单函数的高阶导数。
5．了解微分的概念，导数与微分之间的关系以及一阶微分形式的不变性，会求函数的微分。
6.了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性,了解微分在近似计算中的应用。
第三章微分中值定理与导数的应用
考试内容：微分中值定理（罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理）；洛必达法则；泰勒公式；函数单调性与曲线的凹凸性；函数的极值及最大值和最小值；函数图形的描绘；曲率。
考试要求：
1．理解罗尔、拉格朗日中值定理并掌握其应用。了解并会简单使用柯西中值定理和泰勒公式。
2．掌握用洛必达法则求未定式极限的方法。
3．掌握用导数判断函数的单调性、函数图形的凹凸性，会求函数图形的拐点，会求水平、铅直渐近线，会列表分析函数的性态。
4.理解函数的极值概念，掌握求函数极值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法及其简单应用。
5．了解曲率和曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径。
第四章不定积分
考试内容：不定积分的概念与性质；换元积分法；分部积分法；有理函数的积分。
考试要求：
1．理解原函数及不定积分的概念。掌握不定积分的基本公式和性质。
2.掌握不定积分的换元法和分部积分法。
3.会求简单有理函数的不定积分。
第五章定积分
考试内容：
定积分的概念与性质；微积分基本公式；定积分的换元积分法和分部积分法；反常积分。
考试要求：
1.理解定积分的概念，掌握定积分的基本性质，理解定积分中值定理。
2.理解积分上限函数及其求导定理，掌握牛顿一莱布尼茨公式。
3.掌握定积分的换元积分法与分部积分法。
4.了解反常积分的概念，会计算反常积分并会判别反常积分的敛散性。
第六章定积分的应用

考试内容：定积分的元素法；定积分在几何学上的应用。
考试要求：
1.掌握用定积分计算平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积 。

第二部分高等数学A2部分
第七章微分方程
考试内容：微分方程的基本概念；可分离变量的微分方程；齐次方程；一阶线性微分方程；可降阶的高阶微分方程；高阶线性微分方程；常系数齐次线性微分方程；常系数非齐次线性微分方程。
考试要求：
1．了解微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概念。
2．掌握可分离变量的微分方程，齐次方程和一阶线性微分方程的求解方法。
3．会用降阶法解一些高阶微分方程。
4.掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，会求自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数，以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程的特解和通解。
第八章空间解析几何和向量代数
考试内容：向量及其线性运算；两向量的数量积、