【2012考研必备资料】考研基础讲义赵达夫--高数.pdf

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２．讨论函数的连续性、判断间断点的类型；

１．直接计算函数的极限值或给定函数极限值求函数表示式中的常数；

通过历年试题归类分析，本章的常见题型有：

３．在函数这一部分内，重点是复合函数和分段函数以及函数记号的运算。

类型等问题本质上仍是求极限、因此这部分也是重点。

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点２．由于函数的连续性是通过极限定义的，所以判断函数是否连续、判断函数的间断

析，方法要灵活运用。

分种方法也可能用于几种题型，有时在一个题目中要用到几种方法，所以还要具体问题具体

一这里需要指出的是：题型与方法并不具有确定的关系，一种题型可以有几种计算法，

9
利用级数的收敛性证明数列的极限为零。）（

8
利用导数的定义；）（

7
利用定积分求某些和式的极限；）（

系式求出极限；

6
单调有界数列必有极限“先证明数列极限的存在（通常会用到）（
关的准则），再利用”

5
利用夹逼定理；）（

4
利用等价无穷小代替（常会使运算简化）；）（

3
利用洛必达法则及泰勒公式求未定式的极限；）（

x

0→x

=
i1;lim

sin
x

⎠⎝⎠⎝

xn

0→x→∞x→∞n

⎟⎜⎟⎜

)(

=+=+=+
iii,1lim1lim1lim
ex

x

⎞⎛⎞⎛
11

1
xn

2
利用两个重要极限，两个重要极限即）（

1
利用极限的四则运算法则及函数的连续性；）（

正确求出各种极限。求极限的方法很多，在考试中常用的主要方法有：

１．本章的重点内容是极限，既要准确理解极限的概念和极限存在的充要条件，又要
能

本章的重点内容与常见的典型题型（一）

一
函数、极限与连续
【2012考研必备资料】
３．无穷小的比较；

４．讨论连续函数在给定区间的零点，或方程在给定区间有无实根；

５．求分段函数的复合函数。

（二）知识网络图

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“ε－Ｎ”定义

极限概念“ε－Ｘ”定义
－Ｘ
“ε－δ”定义

唯一性
数列整体有界
极限性质有界性
函数局部有界
保号性

夹逼定理
１极限存在准则
单调有界数列有极限

n
⎛⎞1
lim1+=e
极限n→∞⎜⎟
求极限的２两个重要的极限⎝⎠n
sinx
主要方法３函数的连续性lim=1
x→0x
0∞
４用导数的定义型、型转
0∞换
５洛必达法则
∞−∞型、0⋅∞型
∞、00、型
６等价无穷小替换1∞0
７泰勒公式
８用函数极限求数列极限

无穷小量与无穷大量的定义、关系
无穷小量的运算性质
无穷小量
无穷小量与极限的关系
无穷小量的阶、等价无穷小量

初等函数的连续性
连续的概念分段函数连续性判定
最值定理
闭区间上连续函数的性质
介值定理
连续性
可去
第一类——左右极限都存在
跳跃
间断点的分类
http://shop35250918.taobao.com第二类——左右极限中至少有一个不存在

（三）典型题型分析及解题方法与技巧

题型一求复合函数

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1⎪⎧ex−x,<0,
［例1.1］设fx(),()()().=+xxgx=求fgxgfx与
()⎨2()()
2⎩⎪xx,≥0,

题型二利用函数概念求函数的表达式

2
［例1.2］已知fxefx()=x,[ϕ()]=−1x且ϕϕ(x)≥0,求(x)并写出它的定义域．

题型三判断函数的性质

2
［例1.3］设fxx()=tanxex,则fx()是（）

（A）偶函数（B）无界函数

（C）周期函数（D）单调函数.

题型四求极限的方法

352x2+
［例1.4]］填空题limsin=____.
x→∞53x+x
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［例1.5］求下列极限

1tan+x−+1sinx
(1lim);
x→0x(1−cosx)

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4xx2+−++11x
(2lim);
x→−∞x2+sinx

1
3sinxx+2cos
(3lim)x.
x→0(1+cosx)ln(1+x)

［例1.6］求下列极