【2012考研必备资料】高数总结.pdf

【2012考研必备资料】考研数学知识点-高等数学
一.函数的概念sinx
公式1．lim=1
1．用变上、下限积分表示的函数x→0x

xdynu
（1）y=f()tdt，其中f()t连续，则=f()x⎛1⎞⎛1⎞
∫0dx公式2．lim⎜1+⎟=e；lim⎜1+⎟=e；
n→∞nu→∞u
ϕ2()x⎝⎠⎝⎠
（2）y=f()tdt，其中ϕ1(x)，ϕ2()x可导，f(t)
∫ϕx1
1()
lim()1+vv=e
连续，v→0
dy4．用无穷小重要性质和等价无穷小代换
则=f[]ϕ()xϕ′()x−f[]ϕ()xϕ′()x
dx22115．用泰勒公式（比用等价无穷小更深刻）（数学一和
2．两个无穷小的比较数学二）

f()xx2xn
设limf()x=0，limg()x=0，且lim=l当x→0时，ex=Λ1+x++++0()xn
g()x2!n!

352n+1
（1）l=0，称f()x是比g(x)高阶的无穷小，记以xxnx
sinx=x−++Λ+()−1+0()x2n+1
3!5!()2n+1!
f()x=0[]g()x，称g()x是比f()x低阶的无穷
242n
xxnx
小。cosx=Λ1−+−+()−1+0()x2n
2!4!()2n!
（2）l≠0，称f()x与g()x是同阶无穷小。
x2x3xn
ln()1+x=x−+−Λ+()−1n+1+0()xn
（3）l=1，称f()x与g()x是等价无穷小，记以23n

f()x~g()xx3x5x2n+1
arctanx=x−+−Λ+()−1n+1+0()x2n+1
352n+1
3．常见的等价无穷小

当x→0时αα(α−1)α()α−1Λ[α−(n−1)]
()1+x=1+αx+x2+Λ+xn+0(xn)
sinx~x，tanx~x，arcsinx~x，arctanx~x2!n!
1
1−cosx~x2，ex−1~x，ln()1+x~x，
26．洛必达法则

α0
()1+x−1~αx法则1．（型）设（1）limf()x=0，limg(x)=0
0
二．求极限的方法
（2）x变化过程中，f′()x，g′()x皆存在
1．利用极限的四则运算和幂指数运算法则
2．两个准则
f′(x)
准则1．单调有界数列极限一定存在（3）lim=A（或∞）
g′()x

（1）若xn+1≤xn（n为正整数）又xn≥m（n为正
f(x)
则lim=A（或∞）
整数），则limxn=A存在，且A≥m
n→∞g()x

（2）若x≥x（n为正整数）又x≤M（n为正f′(x)
n+1nn（注：如果lim不存在且不是无穷大量情形，则
g′()x
整数），则limxn=A存在，且A≤M
n→∞
f(x)
不能得出lim不存在且不是无穷大量情形）
准则2．（夹逼定理）设g()x≤f()x≤h()xg()x
∞
若limg()x=A，limh()x=A，则limf()x=A法则2．（型）设（1）limf()x=∞，limg(x)=∞
∞
3．两个重要公式
（2）x变化过程中，f′()x，g′()x皆存在
1Editedby杨凯钧2005年10月
考研数学知识点-高等数学
f′()x值，如果对于区间[a,b]上的任一点x，总有f(x)≤M，
（3）lim=A（或∞）
g′()x
则称M为函数f(x)在[a,b]上的最大值。同样可以定义最
f()x
则lim=A（或∞）小值m。
g()x
定理3．（介值定理）如果函数f()x在闭区间[a,b]上
7．利用导数定义求极限
连续，且其最大值和最小值分别为M和m，则对于介于m
f()()x0+∆x−fx0
基本公式：lim=f′()x0[如果
∆x→0∆x和M之间的任何实数c，在[]a,b上至少存在一个ξ，使

存在]得
8．利用定积分定义求极限
f()ξ=c
1n⎛k⎞1
基本公式limf⎜⎟=f()xdx[如果存在]
n→∞∑∫0
nk=1⎝n⎠推论：如果函数f(x)在闭区间[]a,b上连续，且f(a)
三．函数的间断点的分类
与f(b)异号，则在(a,b)内至少存在一个点ξ，使得
函数的间断点分为两类：
（1）第一类间断点
f()ξ=0
设x是函数y=f()x的间断点。如果f()x在间断点
0这个推论也称为零点定理
五．导数与微分计算
x处的左、右极限都存在，则称x是f()x的第一类间断
001．导数与微分表
点。′

第一类间断点包括可去间断点和跳跃间断点。()c=0d(c)=0
′
αα−1（实常数）αα−1（实常数）
(x)=αxαd(x)=αxdxα
（2）第二类间断点′

第一类间断点以外的其他间断点统称为第二类间断()sinx=cosxdsinx=cosxdx
点。′
()cosx=−sinxdcosx=−sinxdx
常见的第二类间断点有