2023年高考数学总复习第二章 函数概念与基本初等函数第9节：函数模型及其应用(学生版).pdf

2023年高考数学总复习第二章函数概念与基本初等函数

第9节函数模型及其应用

考试要求1.了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征，结合具体实例体会
直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义；2.了解函数模型(如
指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)
的广泛应用.

1.指数、对数、幂函数模型性质比较

y＝axy＝logxy＝xn
函数a
性质(a>1)(a>1)(n>0)
在(0，＋∞)
单调递增单调递增单调递增
上的增减性
增长速度越来越快越来越慢相对平稳

随x的增大逐渐表随x的增大逐渐表随n值变化而各有
图像的变化
现为与y轴平行现为与x轴平行不同
2.几种常见的函数模型

函数模型函数解析式

一次函数模型f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)

二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
与指数函数相
f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)
关的模型
与对数函数相
f(x)＝blogx＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)
a
关的模型
与幂函数相关
f(x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0)
的模型

1.“直线上升”是匀速增长，其增长量固定不变；“指数增长”先慢后快，其增

长量成倍增加，常用“指数爆炸”来形容；“对数增长”先快后慢，其增长量越
来越小.
2.充分理解题意，并熟练掌握几种常见函数的图像和性质是解题的关键.
3.易忽视实际问题中自变量的取值范围，需合理确定函数的定义域，必须验证数

学结果对实际问题的合理性.

1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)某种商品进价为每件100元，按进价增加10%出售，后因库存积压降价，若按

九折出售，则每件还能获利.()

(2)函数y＝2x的函数值比y＝x2的函数值大.()

(3)不存在x，使ax<xn<logx.()
000a0

(4)在(0，＋∞)上，随着x的增大，y＝ax(a>1)的增长速度会超过并远远大于y＝

xa(a>0)的增长速度.()

2.(易错题)已知()＝2x，当∈(4，＋∞)时，对三个函数
fxx，g(x)＝2，h(x)＝log2xx
的增长速度进行比较，下列选项中正确的是()
A.f(x)>g(x)>h(x)
B.g(x)>f(x)>h(x)
C.g(x)>h(x)>f(x)
D.f(x)>h(x)>g(x)
3.(易错题)当生物死亡后，其体内原有的碳14的含量大约每经过5730年衰减为

原来的一半，这个时间称为“半衰期”.当死亡生物体内的碳14含量不足死亡前
的千分之一时，用一般的放射性探测器就测不到了.若某死亡生物体内的碳14用
该放射性探测器探测不到，则它经过的“半衰期”个数至少是()
A.8B.9C.10D.11
4.(2022江苏新高·考基地大联考)香农定理是所有通信制式最基本的原理，它可以

1＋S
来表示，其中是信道支持的最大速度或者叫信道容
用香农公式C＝Blog2NC

量，B是信道带宽(Hz)，S是平均信号功率(W)，N是平均噪声功率(W).已知平均
信号功率为1000W，平均噪声功率为10W，在不改变平均信号功率和信道带宽
的前提下，要使信道容量增大到原来的2倍，则平均噪声功率约降为()
A.0.1WB.1.0WC.3.2WD.5.0W
5.用长度为24的材料围一矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则

隔墙的长度为________.
6.(2020·北京卷)为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水

治理，排放未达标的企业要限期整改.设企业的污水排放量W与时间t的关系为W

f（b）－f（a）
＝f(t)，用－的大小评价在[a，b]这段时间内企业污水治理能力的强
b－a

弱.已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如图所示.

给出下列四个结论：
，]这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；
①在[t1t2
时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强；
②在t2
时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标；
③在t3
]，[，]，[，]这三段时间中，在[0，]的污水治理能力最强.
④甲企业在[0，t1t1t2t2t3t1
其中所有正确结论的序号是__________.

考点一利用函数图像刻画变化过程
1.已知高为H，满缸水量为V的鱼缸的轴截面如图所示，其底部破了一个小洞，

满缸水从洞中流出，若鱼缸水深为h时水的体积为v，则函数v＝f(h)的大致图像
是()

2.小菲在学校选修课中了解到艾宾浩斯遗忘曲线，为了解自己记忆一组单词的情

况，她记录了随后一个月的有关数据，绘制图像，拟合了记忆保持量f(x)与时间
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－x＋