北京市西城区2012年高三一模数学文科试卷及答案.doc

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北京市西城区2012年高三一模试卷
数学（文科）2012.4
第Ⅰ卷（选择题共40分）
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1．已知集合，，那么（）（A）（B）（C）（D）
2．执行如图所示的程序框图，若输入，则输出的
值为（）
（A）
（B）
（C）
（D）
3．若，，，则下列结论正确的是（）（A）（B）（C）（D）
4．如图，在复平面内，复数，对应的向量分别是
，，则复数对应的点位于（）（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限

5．已知正六棱柱的底面边长和侧棱长均为，其三视图
中的俯视图如图所示，则其左视图的面积是（）（A）（B）（C）（D）
6．若实数，满足条件则的最大值为（）（A）（B）（C）（D）
7．设等比数列的前项和为．则“”是“”的（）（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充要条件（D）既不充分又不必要条件
8．已知集合，其中，且
.则中所有元素之和是（）（A）（B）（C）（D）

第Ⅱ卷（非选择题共110分）
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.
9.已知向量，.若，则实数_____.

10.某年级名学生在一次百米测试中，成绩全部介于秒
与秒之间．将测试结果分成组：，，
，，，得到如图所示的频率分
布直方图．如果从左到右的个小矩形的面积之比为
，那么成绩在的学生人数是_____．

11.函数的最小正周期为_____．

12.圆的圆心到直线的距离是_____.

13.已知函数则的零点是_____；的值域是_____．

14.如图，已知抛物线及两点和，其中.过，分别作
轴的垂线，交抛物线于，两点，直线与轴交于点，此时就称，
确定了.依此类推，可由，确定，.记，.
给出下列三个结论：
①数列是递减数列；
②对，；
③若，，则.
其中，所有正确结论的序号是_____．

三、解答题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
15.（本小题满分13分）
在△中，已知．
（Ⅰ）求角；
（Ⅱ）若，△的面积是，求．

16.（本小题满分13分）
某校高一年级开设研究性学习课程，（）班和（）班报名参加的人数分别是和．现用分层抽样的方法，从中抽取若干名学生组成研究性学习小组，已知从（）班抽取了名同学．
（Ⅰ）求研究性学习小组的人数；
（Ⅱ）规划在研究性学习的中、后期各安排次交流活动，每次随机抽取小组中名同学发言．求次发言的学生恰好来自不同班级的概率．

17．（本小题满分14分）
如图，矩形中，，．，分别在线段和上，∥，将矩形沿折起．记折起后的矩形为，且平面平面．
（Ⅰ）求证：∥平面；
（Ⅱ）若，求证：；
（Ⅲ）求四面体体积的最大值．

18.（本小题满分14分）
已知椭圆的离心率为，一个焦点为．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设直线交椭圆于，两点，若点，都在以点为圆心
的圆上，求的值．

19.（本小题满分13分）
如图，抛物线与轴交于两点，点在抛物线上（点在第一象限），∥．记，梯形面积为．
（Ⅰ）求面积以为自变量的函数式；
（Ⅱ）若，其中为常数，且，求的最大值．

20.（本小题满分13分）
对于数列，定义“变换”：将数列变换成数列，其中，且.这种“变换”记作.继续对数列进行“变换”，得到数列，依此类推，当得到的数列各项均为时变换结束．
（Ⅰ）试问经过不断的“变换”能否结束？若能，请依次写出经过“变换”得到的各数列；若不能，说明理由；
（Ⅱ）设，．若，且的各项之和为．
（ⅰ）求，；
（ⅱ）若数列再经过次“变换”得到的数列各项之和最小，求的最小值，并
说明理由．
北京市西城区2012年高三一模试卷
数学（文科）参考答案及评分标准
2012.4
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.

1.C；2.D；3.D；4.B；5.A；6.B；7.C；8.C.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.
9.；10.；11.；
12.；13.和，；14.①②③.
注：13题第一问2分，第二问3分;14题少选1个序号给2分.

三、解答题：本大题共6小题，共80分.若考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分标准给分.
15.（本小题满分13分）
（Ⅰ）解：由，得．………………3分
所以原式化为．………………4分
因为，所以，所以．………………6分
因为，所以．………………7分
（Ⅱ）解：由余弦定理，
得．………………9分
因为，，
所以．………………11分
因为，所以.………………13分

16.（本小题满分13分）
（Ⅰ）解：设从（）班抽取的人数为，
依题意得，所以，
研究性学习小组的人数为．………