1-2统计-古典-几何概率.pdf

§1.2统计概率、古典概率及几何概率
随机事件发生的可能性有大有小.人
们往往用介于0和1之间的一个实数
（即百分比）来表示这个指标，记为
P(A)，称为随机事件A发生的概率.

历史上曾先后出现过的概率定义：

古典定义、几何定义、统计定义.

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这些定义各适合一类随机现象，均
有一定的局限性.
德国数学家希尔伯特，1900年的数
学家大会，倡议建立概率的公理化体
系，1933年，前苏联数学家柯尔莫哥
洛夫提出了概率的公理化定义.
概率的公理化定义一经提出，就很
快获得举世公认，这是概率论发展史
上的一个里程碑式的大事件.

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1.2.1统计概率

设E为任一随机试验，A为其中任
一事件，在相同的条件下，把E独立

地重复做n次，以μn()A表示事件A在
这n次试验中出现的次数（也称频数），

则比值fnn()AAn=μ()称为事件A发
生的频率.

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频率的稳定性：大量长期的实践表
明：当试验次数不断增加时，事件A

发生的频率fn()A稳定在某个常数p
附近，以p为中心上下摆动，即事件A
发生的频率随着试验次数的增加表现
出一种稳定性.称p为频率的稳定值.
这是一个不依赖于任何主观意愿的
客观事实.

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投币试验正面向上的次数和频率.
实验者投币次数正面向上的次数频率
蒲丰404020480.5069
皮尔逊1200060190.5016
维尼30000149940.4998

英文字母的使用频率：
字母空格ETO…QZ

频率0.20.1050.0720.065…0.0010.001

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定义1.2.1设E为随机试验，A为
其中任一事件，当试验次数n充分大

时，事件A发生的频率fn()A稳定在某
个常数p附近，则称p为事件A发生
的统计概率，记为P(A)=p.
频率稳定性的意义：一方面，它能
适当地反映出A发生的可能性大小.
在许多实际问题中，当概率不易求出

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时，可以取频率作为概率的近似值.
另一方面，频率的概念比较简单，
容易掌握，常常可以由频率的性质去
推测概率的性质.

例如，由频率的定义有：

0()1≤≤fAn，fn()1Ω=及fn()∅=0，
于是可以推知概率P(A)也满足性质：
0()1≤≤PA，P()1Ω=及P()∅=0.

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注意：

不能按微积分中数列的极限概念来
理解概率的统计定义，就是说，不能

认为

P()AfA=lim()n
n→∞.
只能在一定概率意义下证明P()A趋近

于fn()A

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例1.2.1抛掷硬币试验可以在Excel
中进行模拟.

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1.2.2古典概率
古典概率是历史上最早出现的概
率，它源于赌博，早在16世纪，概率
这个概念就已形成，它与抛掷骰子进
行赌博这类活动有密切联系.
1564年一个名叫德梅尔的人提出的
问题曾引起法国数学家帕斯卡和费马
的通信讨论.问题之一是将两颗骰子

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抛掷24次，至少掷出一个“双6”的
机率是否小于1/2？这个值实际上为
24
1−≈（）35360.4914，
是一个简单的古典概率问题.

历史上这类问题很多，如下面的“得
分问题”也是一个著名的问题.

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例1.2.2（得分问题）甲乙二人各出
8元做赌注，以抛掷硬币的方式进行赌
博，每抛掷一次，若出现正面，那么
甲得1分，乙不得分；否则乙得1分，
甲不得分.事先规定先得10分者获胜，
胜者得到全部16元赌注.当赌博进行
到甲已得8分，乙已得7分时，赌博
被打断并终止了，问二人如何合理地
分配这16元赌注？

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概率的统计定义虽然具有一般性，
但要得到一个事件的统计概率就要把
试验在相同的条件下重复很多次，这
就要受到一定的限制.有的试验做起
来费时费力，十分困难，不过在两类
特殊的随机试验（古典概型和几何概
型）中却可以用简单的方法得到一个
事件的概率.

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定义1.2.2具有下列两条性质的随
机试验称为古典概型：
(1)有限性：样本空间只包含有限个
样本点；
(2)等可能性：每个样本点发生的可
能性都相同.
如例1.1.1中(1)、(2)、(3)三个试验
均为古典概型.经常会碰到古典概型
问题：产品抽查、抽签、买彩票等.