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关于总和生育率的统计分析模型

杨新平
(楚雄师范学院，云南楚雄675000）

摘要：文章根据2007年高教杯大学生数学建模竞赛A题中的人口数据，针对总和生育率分
别建立指数平滑模型和Gaussian模型，并对我国近年来育龄妇女总和生育率进行预测，合理地刻划
了我国总和生育率的长期变化趋势。
关键词：总和生育率；长期趋势；指数平滑；生育率。
中图分类号：C92文献标识码：A文章编号：1002－6487（2009）05－0150-03

1
1赞
Bt（x）-Bt（x）
问题及背景49
12
2简记为赞
（）B赞（），Σ[B（x）+α（x）E（x）]（2）
Btx-tx
x=15
3
总和生育率是衡量育龄妇女岁岁妇女生育水3
（15~49）赞
Bt（x）-Bt（x）
平的常用指标之一，它是女性终身生育率的估计，是将某年
B赞（x）,α（x）和E（x）分别称为预测向量，参数矩阵和误差
某地育龄妇女各年龄段生育率相加求和得到的合计值。每年
kkkk
向量令赞由容易知道赞其中
的人口抽样统计数据构成一个单项式分组表，年龄分组组距，B1（x）=B1（x），（1）：B2（x）=B1（x），：
为1岁，总和生率等于各年龄别生育率之和。这样来计算总k
0≤αk（x）≤1，x=15，16，……，49，t=1，2，3，…，B赞（x）为第k类
和生育率忽略了城市城镇及农村在计划生育政策上的差t
，、k
居住地岁妇女年生育率的估计，时，（）为第类
异。针对这一问题，同样作这样的假定：不论城市、城镇、乡xtt=1B1xk
村，育龄妇女在一生中，生育概率保持不变。在此基础之上，居住地x岁女性基期的观测值。
kk
根据2001-2005年的1%的人口抽样数据（数据来源：2007定理如果令赞且那么
1B1（x）=B1（x），n≥3，：
年高教杯全国大学生数学建模竞赛题数据包
A：n-2
kk
用指数平滑的方法对数据进行修匀消除不赞kkt-1kn-2
A2007App2），，，（1）Bn（x）=α（x）Σ[1-α（x）]Bn-t（x）+[1-α（x）]
t=1
规则变动对数据的影响，得到相对更真实的生育率数据，反
k
映数据的真实变动趋势。并建立总和生育率的指数平滑模型B1（x）（3）
及Gaussian模型，使之能较准确反映近年来我国妇女的终生n-2
kkt-1kn-2
生育水平实际应用中在下通过简单计算就可（2）α（x）Σ[1-α（x）]+[1-α（x）]=1（4）
，，MATLAB，，t=1
得到育龄妇女各个年龄别的生育率近似值k
。由定理可知预测值赞是它之前所有时间序列的观测值的
:Bn（x）
加权平均数，对于k类居住地x岁育龄妇女第n年生育率预
2模型建立
测值表达式（3）式中，有一个待估的参数αk（x），确定αk（x）之
后就可计算出第年类居住地的岁育龄妇女的生育
k，nkx
设表示分别表示城市城镇乡村三k
Bt（x）k（k=1，2，3、、
率，实际应用中没有必要用以前的的所有的观测值来预测B赞
个类别）类居住地岁女性第年生育率，k（）表示第类n
xtαxkk
居住地岁妇女的平滑系数从而第类居住地岁妇女只要用第年的观测值及预测值k和赞就可
x，kxt+（x），n-1Bn-1（x）Bn-1（x）
1年的生育率可用下面的平滑模型来估计：计算得到第n年的预测值。
kkkk
kkkkk
B赞(x)=α（x)B(x)+[1-α(x)]B赞(x)=B赞(t)+α(x)[B(x)-B赞(x)]
t+1ttttt3参数估计
用矩阵表示为：
11
1
1实际应用中平滑系数k的估计值必须含有前面
赞赞，α（x）n-
B（x）Bt（x）Bt（x）-Bt（x）
t
1232k
22年的数据信息，按平滑系数（）的合理性确定准则，选择
21αx
B（x）=赞+diag（α（x）α（x）α（x）赞（1）
tB（x）B（x）-Bt（x）
tt使用使均方误差达到最小的k该问题等价于求解下面
3α（x）。
33
B（x）3
t赞赞最优化问题
Bt（x）Bt（x）-Bt（x）：
2
则有总和生育率的矩阵形式：≥n-2≥
≥kkk≥
1≥kkt-1kn-2≥
≥min{B(x)-{α(x)[1-a(x)]B(x)+[1-α(x)]B(x)}≥
1nΣn-t1
赞≥≥
TRFBt（x）≥t=1≥（5）
t+14949123
≥≥
22≥k≥
軒軒軒≥0≤α(x)≤1≥
TRFt+1=TRFt+1=Σ赞（）+Σdiag（α（x），α（x），α（