概率统计模型.doc

第五章概率统计模型
本章重点：初等概率模型随机性决策模型随机型存储模型排队模型

复习要求：
1．会建立简单的初等概率模型。
2．掌握随机性决策模型的建立与求解方法，了解随机性存储模型。
3．了解排队模型，会用排队模型中的简单结论求解相关问题。

一、初等概率模型
初等概率模型主要介绍了可靠性模型、传染病流行估计、常染色体遗传模型等三类问题，下面复习遗传模型
1．问题分析
所谓常染色体遗传，是指后代从每个亲体的基因中各继承一个基因从而形成自己的基因型.如果所考虑的遗传特征是由两个基因A和B控制的，那么就有三种可能的基因型：AA，AB和BB.例如，金鱼草是由两个遗传基因决定它开花的颜色，AA型开红花，AB型的开粉花，而BB型的开白花.这里的AA型和AB型表示了同一外部特征(红色)，则人们认为基因A支配基因B，也说成基因B对于A是隐性的.当一个亲体的基因型为AB，另一个亲体的基因型为BB，那么后代便可从BB型中得到基因B，从AB型中得到A或B，且是等可能性地得到.
问题：某植物园中一种植物的基因型为AA，AB和BB.现计划采用AA型植物与每种基因型植物相结合的方案培育植物后代，试预测，若干年后，这种植物的任一代的三种基因型分布情况.
2．模型假设
（1）按问题分析，后代从上一代亲体中继承基因A或B是等可能的,即有双亲体基因型的所有可能结合使其后代形成每种基因型的概率分布情况如表5－1.
表5-1
下一代基因型（n代）上一代父-母基因型（n-1代）AA-AAAA-ABAA-BBAB-ABAB-BBBB-BBAA11/201/400AB01/211/21/20BB0001/41/21(2)以和分别表示第n代植物中基因型为AA，AB和BB的植物总数的百分率，表示第n代植物的基因型分布，即有
(5.1)
特别当n=0时，表示植物基因型的初始分布(培育开始时所选取各种基因型分布)，显然有
3．模型建立
注意到原问题是采用AA型与每种基因型相结合，因此这里只考虑遗传分布表的前三列.
首先考虑第n代中的AA型，按上表所给数据，第n代AA型所占百分率为

即第n-1代的AA与AA型结合全部进入第n代的AA型，第n-1代的AB型与AA型结合只有一半进入第n代AA型，第n-1代的BB型与AA型结合没有一个成为AA型而进入第n代AA型，故有
(5.2)
同理，第n代的AB型和BB型所占有比率分别为
(5.3)
(5.4)
将(５.2)、(５.3)、(５.4)式联立，并用矩阵形式表示，得到
(5.5)
其中

利用(5.5)进行递推，便可获得第n代基因型分布的数学模型
(5.6)
(5.6)式明确表示了历代基因型分布均可由初始分布与矩阵M确定.
4．模型求解
这里的关键是计算.为计算简便，将M对角化，即求出可逆阵P，使，即有

从而可计算
其中为对角阵，其对角元素为M的特征值，P为M的特征值所对应的特征向量.分别为
，

故有

即得

于是
或写为

由上式可见，当时，有

即当繁殖代数很大时，所培育出的植物基本上呈现的是AA型，AB型的极少，BB型不存在.
5．模型分析
（1）完全类似地，可以选用AB型和BB型植物与每一个其它基因型植物相结合从而给出类似的结果.特别是将具有相同基因植物相结合，并利用前表的第1、4、6列数据使用类似模型及解法而得到以下结果：

这就是说，如果用基因型相同的植物培育后代，在极限情形下，后代仅具有基因AA与BB，而AB消失了.
（2）本例巧妙地利用了矩阵来表示概率分布，从而充分利用特征值与特征向量，通过对角化方法解决了矩阵n次幂的计算问题，可算得上高等代数方法应用于解决实际的一个范例.

例2血友病也是一种遗传疾病，得这种病的人由于体内没有能力生产血凝块因子而不能使出血停止．很有意思的是，虽然男人及女人都会得这种病，但只有女人才有通过遗传传递这种缺损的能力．若已知某时刻的男人和女人的比例为1：1.2，试建立一个预测这种遗传疾病逐代扩散的数学模型．
解假设有%的人患有血友病，并假设下一代与上一代虽人数可能不等，但所生男女比例一样．基于这样一个假设，不妨设下一代男女与上一代相同，设初始第一代男女分别占总人数的比例占总人数的比例为a0，b0，由题设，a0：b0=1：1.2．注意到只有女人遗传血友病，由此，第一代将有个女人及个男人有血友病，血友病占总人数的百分比为

同理，第二代将有个女人及个男人有血友病，血友病占总人数的百分比为

依次类推，第n代将有个女人及个男人有血友病，血友病占总人数的百分比为

令，则．

二、随机性决策模型
决策是人们在政治、经济、军事和日常生活等多方面普遍存在的一种选择方案的行为.决策按环境而言，可以分为确定型，不确定型和风险型，其中风险型决策的决策类型