概率统计建模方法pdf.pdf

概率统计建模方法

第1章概率方法建模简介第5章马氏链模型

第2章数据统计描述和分析第6章时间序列模型

第3章方差分析第7章主成分分析及应用
第4章回归分析第8章判别分析简介及应用

ShandongUniversity
SchoolofMathematics
Chenjianliang
1
第1章概率方法建模简介
自然界中的现象总的来说可以概括为两大现象：
确定性现象和随机现象
在确定性现象中可以忽略随机因素的影响，
在随机现象中必须考虑随机因素的影响。
确定性离散模型，主要使用差分方程方法、层次分析方法
以及比较简单的图的方法和逻辑方法等方法建立模型；
确定性连续模型，主要使用微积分、微分方程及其稳定
性、变分法等方法建立模型；
随机性模型，是指研究的对象包含有随机因素的规律，以
概率统计为基本数学工具，其结果通常也是在概率意义下
表现出来。随机因素的影响可以用概率、平均值（即数学

期望）等的作用来体现。2
§1概率论基础知识
一、几个重要计算概率公式

1．加法公式

nnnnn
n−1
PA()∪∩ii=−∑∑PA()PAA()ijijk+∑PAAA()++−(1)()PAi
i=1iijnijkn=≤<≤≤<<≤111i=1

PAB()
2．条件概率公式PAB(|)=
PB()

3．乘法公式若则
PA()012AAn−1>

PAA()()(|)(|)12Annn=PA1PA2A1PAAA12A−1

3
4．全概率公式

为的完备事件组，则
AA12,,Ω

∞
PB()=⋅∑PB(|Aii)PA()
i=1

5．贝叶斯(Bayes)公式

为的完备事件组，则，
AA12,,Ω

PB(|Aii)⋅PA()
PA(|)iB=∞
∑PB(|Aii)⋅PA()
i=1
4
二、常见概率分布及其数字特征
1.二项分布X~B(n,p)

kknk−
Pkn===−PX{}kCp(1),0,1,,pk=n
EXnpDXnpp=,(1)=−

主要应用在比率的研究中，如产品合格率等。

2．泊松分布P(λ)

λke−λ
PX{}==k,k=0,1,2,,EX=DX=λ
k!
主要应用在服务领域，研究泊松流的分布规律。

5
3．负二项分布（巴斯卡分布）

记Ck={第r次成功发生在第k次试验上}，则其概率为

rrkr−1−
f(;,krp)=Ck−1pq

r=1时即为几何分布（也称为等待分布）---无记忆性

4．区间[a,b]上的均匀分布记作U[a,b]

⎧ab+
⎧1EX=
⎪,[,]x∈ab⎪2
密度函数fx()=⎨ba−⎨
()ba−2
⎩⎪0,x∉[,ab]⎪DX=
⎩⎪12

6
5．指数分布(具有无记忆性)
⎧λex−λx,0≥
密度函数11
fx()===⎨,EX,DX2
⎩0,x<0λλ
主要应用在产品寿命的研究领域。

2
6．正态分布N(μ,σ)()x−μ2
−
12
密度函数f()xexR=⋅∈2σ,
2πσ⋅
EX==μ,DXσ2
正态分布应用领域比较广泛。此外还有一些分布，例如
伽玛分布、威布尔分布、贝塔分布等。

7
三、林德贝格-勒维中心极限定理

设X1,…,Xn独立同分布，且有有限的期望和方差，则

nn⎛⎞广泛应用在金
XE−X
∑∑kk⎜⎟近似融、经济、社会
kk==11⎝⎠~(0,1)N
n等各个领域的随
∑DXk机模拟试验中。
k=1

例如：高尔顿钉板试验

8
§2概率方法建模实例分析

实例一、报童的策略问题

1．问题描述

报童每天清晨从报站批发报纸零售，晚上将未卖完
的报纸退回。设每份报纸的批发价为b，零售价为a，退回
价为c，且设a>b>c，因此报童每售出一份报纸赚(a-b)，
退回一份赔(b-c)。若批少了不够买就会少赚，若批多了买
不完就赔钱，报童如何确定每天批发报纸的数量，才能获
得最大收入？

9
2.分析
显然应根据需求量来确定批发量。一种报纸的需求量
是一随机变量。假定报童通过自己的实践经验或其它方式
掌握了需求量的随机规律，即在他的销售范围内每天报纸
的需求量为X=x份的概率为P(x)，则通过P(x)和a,b,c
就可建立关于批发量的优化模型。

3．数学模型
设每天批发量为n，因需求量x是随机的，因此x可
以小于、等于或大于n，从而报童每天的收入也是随机
的，作为优化模型的目标函数，应考虑他长期（半年、一
年等）卖报的日平均收入。据概率论中的大数定律，这相
当于报童每天收入的期望值（以下简称平均收入）。
10
设报童每天批发进n份报纸时的平均收入为S(n)，若
某天需求量x≤n，则他售出x份，退回(n-x)份；若这天需
求量x>n，则n份报纸全部卖出。因需求量为x的概率为
P(x)，