双参数指数分布参数比率统计推断的研究.pdf

应用概率统计第二十六卷ChineseJournalofAppliedProbability
第一期2010年2月andStatisticsVo1．26NO．1Feb．2010

双参数指数分布参数比率统计推断的研究冰

李建波
(香港中文大学统计系，香港)
张日权★
(华东师范大学金融与统计学院，上海，200241；山西大同大学数学系，大同，037009)

摘要
本文在产品寿命服从双参数指数分布的无替换定数截尾寿命试验场合下，提出了两独立产品平
均寿命比率的两个估计量，并研究了这两个比率估计量的渐近正态性和置信区间．然后通过数据模拟，
进一步验证了所提出比率估计量的有效性．
关键词：比率，平均寿命，双参数指数分布．
学科分类号：O211．3．

§1．前言

在当今社会，产品质量是一个企业的生命力，产品质量的优劣直接影响其在市场中的
竞争优势．而产品寿命是产品质量的重要评价指标，所以某产品寿命与其升级前或其他同
类产品寿命相比，是否具有相对优势，成为该产品质量能否达标的关键．因此两种产品平均
寿命比率的估计就成为急须解决的问题．双参数指数分布是产品寿命的一个常见分布，当
产品寿命服从双参数指数分布EXP(0，)时，其平均寿命为+7，从而两产品的平均寿命的
比率就是他们各自分布参数和的比率．本文主要研究了两独立产品平均寿命比率估计问题，
提出了两个较有效的比率估计量并推导出了它们的渐近正态性和置信区间．然而两比率估
计量不服从常见分布，它们的期望和方差的计算及其有效性的检验就变的非常复杂，于是
通过蒙特卡罗计算机随机数值模拟方法对两比率估计量做了进一步有效分析【1J．比率的估
计问题源于抽样调查本文把比率的概念应用于寿命服从双参数指数分布无替换定数截
尾寿命试验中的平均寿命比率的估计问题．为此引入以下概念：
定义1．1设x1，Y1)，(X2，Y2)，⋯，(Xn，Yn)为来自总体(，y)容量为n的样本，定义两
总体，y均值的比率R=EYIEX的估计量为

五：，(1．1)
X(xl，x2，⋯，xn)

本课题得到国家自然科~(10871072)、教育部博士点基金(20090076110001)~山西省自然科学~z(2007011014)
资助．
通讯作者，E-mail：[e-mail]．
本文2007年10月22日收到，2008年6月17日收到修改稿．
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其中Xl，X2，⋯，礼)，F(yl，Y2，⋯，)分别表示，的均值估计函数．
显然当(1，y1)，(X2，y2)，⋯，(X，Yn)为简单随机样本时，两总体的均值估计量可表示
为
X(xl，X2，⋯)=∑Xi：，Y(Yl，Y2，⋯，Yn)=Yi：．
，0i一1，6一1
从而两总体均值的比率估计量为
五=(i=1)=．(1．2)
这是抽样调查中最常用的估计．

§2．平均寿命比率的统计推断

解决两独立产品平均寿命比率的估计I司题，首先要解决产品的平均寿命的估计I司题，
关于这方面的研究已有很多，例如[3]中的Bayes方法，本文主要利用极大似然估计方法．设
Xl，2，⋯，竹为来自总体EXP(O，7)容量为n的一个样本，则在无替换定数截尾寿命试验中
得到的数据为来自该样本的前r个次序统计量，记为7(1)(2)⋯≤()，r礼．为
讨论平均寿命比率估计量的统计推断问题引入以下引理：
引理2．1i~x0)，(2)，⋯，()为来[~EXP(0，)的样本容量为n的前7'个次序统计量，
则：
1)=(一nx(1))／(r一1)，=xo)一／礼分别为，的一致最小方差无偏估计，并且

Var(=，Va啊)=，Cov(一；

2)f1))J~,EXP(8／n，)；
3)2(r一1)／o~9,x(2(r一1))．
其中：∑x(o+(礼一)fr1为试验总时间．

证明略．
设(1)，(2)，⋯，()，YO)，(2)，⋯，()分别为来自服从ExP(1，,,／1)$~EXP(02，)两独
立总体，y的样本容量为n的前r个次序统计量，则由引理2．1可知1，1，2，的一致最小
方差无偏估计分别是
T~-nxo)，11)一n，瓦=Tyr-ny(1)
=
，~2-Y(1)-，(2．1)

其中=∑(i)+(n—r)()，=∑()+(礼一r)()分别为两总体，y无替换定数
截尾寿命试验的总时间，并且
三1，1三71，三2，^2三，r一∞．(2．2)
第一期李建波张曰权：双参数指数分布参数比率统计推断的研究

EX=01+7l，EY=02+"72(2．3)

由定义1．1自然可以用
~2
五：—02+—
(2．4)
1+^1
估计两总体X，y的平均寿命比率R=EY／EX=(02-I-)／(1+71)．并且由(2．2)g~n

^D
R_÷．7’∞(2．5)

因此