从不同角度看行秩与列秩.pdf

线性代数中，有那么几个神秘又神奇的东西，总是让初学它的人琢磨不透，无法
理解，其中就有矩阵的行向量和列向量的关系，为什么一个矩阵的行向量里有多少
个线性无关的向量，列向量里就一定也有多少个线性无关的向量呢？或者考虑稍微
简单一点的问题，一个方阵，为什么行向量线性无关或线性相关列向量就一定也线
性无关或相关呢？行秩为何等于列秩？这本来应该是一个基本又简单的事实。但
是，请回忆一下你当初初学线性代数时的内容编排顺序，是怎么引入这个问题的，当
时又是怎样解决这个问题的？传统的教材编写思路是从线性方程组开始整个线性代数
话题的引入，这个过程中定义行列式和矩阵，用n元数组引入向量，线性相关和
无关等概念，讨论解存在的条件，解的结构，等等。总之，一切以方程组为核心，
给人的感觉就是线性代数就是方程组的理论，一切讨论的目的都是为了解决小小的方
程组问题。在这个过程中，有一个矩阵行秩等于列秩的命题，此时学生只了解方程
组理论和行列式，因此这时对这个问题的解释当然也无法离开方程组或行列式。下
面简述两个典型的教材中的证明方法：第一个证明来自陈志杰《高等代数与解析几
何》。
证明：首先，矩阵的初等行变换不改变矩阵的行秩，初等列变换不改变矩阵的列
秩。这是由向量组的初等变换不改变向量组的线性相关或无关性保证的，即将某个
向量乘以非零的倍数、将某个向量加到另一个向量上，都不改变向量组的线性相关
或无关性。
接着证明矩阵的初等行变换不改变矩阵的列秩。
设A是m*n阶矩阵，任意从A的n个列向量中选取k个列向量a1,a2,,,ak，它们线
性无关的充要条件是线性方程组aixi+a2x2+,+akxk=0只有零解。而对
矩阵A进行初等行变换不改变此方程组的解，因此不改变这k个列向量的线性相关或
无关性。这说明A的列向量的秩在矩阵的初等行变换中不变。同理矩阵的初等列变换
不改变矩阵的行秩。
接下来，可以把A经过初等行变换和初等列变为只有对角线上有1或0,其它位
置都为0的矩阵，在这个过程中行秩和列秩都不改变，从这个矩阵中看出行秩等于
列秩，因此原来的矩阵行秩也等于列秩。

第二个证明来自北大数学系几何与代数教研室前代数小组编《高等代数》
证明：考虑线性方程组AX=0首先证明如果未知数的个数超过A的行秩，那么它有
非零解。设m*n阶矩阵A的行秩为r，考虑方程组AX=0它由m个方程n个未知数组
成。从A的行向量中选取r个线性无关的行向量，重新组合成矩阵B,那么方程组
AX=0和BX=0同解。这时，如果B的列数大于行数，那么方程组BX=0必有非零
解，从而AX=0也有非零解。
接着证明行秩等于列秩。设m*n阶矩阵A的行秩为r，列秩为s。考虑A的任意r+1
个列向量组成的矩阵C,因为C的行秩不大于（因为C的行向量都是A的行向量的
一部分分量组成的），所以CX=0有非零解，这说明这叶1个列向量线性相关。所
以A的列秩最大为r，即s<=r。同理可证r&lt;=s，因此s=r。

有了行秩等于列秩的性质，完全可以用行秩或列秩定义矩阵的秩了。编写教材的人
和老师们都认为，只要能够顺利定义出矩阵的秩，这个证明就足以满足初学时的需
要了，既没有必要又没有条件再将它深入地挖掘下去。
但是它仍然让我困惑，即使把书上的这个证明看得明明白白，也不理解为什么行秩
等于列秩。因为向量是个几何的概念，现在这个证明中看不出一点几何上向量的影
子，这两个例子都依赖于线性方程组理论，都离不开高斯消元法，都是代数上的推
导。虽然从代数上推导出了这个结果，但是在几何上我依然无法接受这个结果。矩
阵的行向量和列向量“从图形上”到底是什么关系？可不可以让我一下子就能看出来
它们的秩是相等的？尽管经过了行列变换之后行列秩相等是显然的，但这个过程中
却把原来的行列向量给变得面目全非了。

更有甚者，有些教材上竟然用矩阵的子式和行列式理论推导行秩等于列秩，由于
这种证明过于复杂，这里就不列出了。

直到最近的一次偶然机会，又让我想起了这个问题。一开始，发现它和对偶空间与对
偶映射有关系。
记得当初学习线性代数时，直到最后才接触了一些有关对偶空间和对偶映射的知识，
教材还写得十分抽象，以至于我们都囫囵吞枣地过来了，根本没有什么印象。后来
的泛函，因为高等代数理解不深人，对泛函也没有留下什么印象。最近有同事让我讲
线性代数，有很多次问我关于矩阵转置的意义的问题。他曾经学习线性代数时对很
多问题不理解，其中就有矩阵转置到底对应几何上的什么东西，为什么要转置？其实
我也没考虑过这个问题，只知道这是代数的特殊需要，当需
要把行向量变成列向量的时候就需要考虑转置，它完全是代数上的处理方式。至于
在几何上代表什么意义，我也曾困惑过，但一直没考虑清楚。然而现在比大一那个时
候多了一个学习的更加有效的途径，那就是网络。在wiki