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试析矩阵行秩等于列秩的两种精简证明方法
矩阵是线性代数中重要的研究对象之一，行秩和列秩是矩阵的基本性质之一。一般情况下，矩阵的行秩和列秩可能不相等。然而，有一个重要的性质是，当矩阵的行秩等于列秩时，我们称其为满秩矩阵。本文将从两种不同的角度，分别使用矩阵空间和线性映射的观点，来证明矩阵行秩等于列秩的两种精简证明方法。
首先，我们来看第一种方法，它基于矩阵空间的观点。为了理解这种方法，我们需要先回顾一下矩阵的基本概念。一个m×n的矩阵可以看作是一个m维向量空间R^m中的n个向量的集合。通过对矩阵的列向量进行线性组合，我们可以生成整个向量空间。而矩阵的行秩和列秩则分别对应于列向量和行向量的极大线性无关组的向量个数。
假设我们有一个m×n的矩阵A，其行秩为r1，列秩为r2。首先，我们考虑矩阵A的列空间和行空间。列空间是由A的所有列向量张成的向量子空间，记作C(A)，其维度为r2。同样，行空间是由A的所有行向量张成的向量子空间，记作R(A)，其维度为r1。
由于矩阵A的列秩为r2，所以C(A)的维度为r2。我们知道，任意一个向量空间的维度等于该空间的极大线性无关组中向量的个数。因此，我们可以找到一个包含r2个线性无关向量的集合B1，其中每个向量都可以通过A的列向量的线性组合得到。同样地，由于矩阵A的行秩为r1，所以R(A)的维度也为r1。我们可以找到一个包含r1个线性无关向量的集合B2，其中每个向量都可以通过A的行向量的线性组合得到。
现在，让我们考虑矩阵的列秩和行秩的关系。由于C(A)的维度为r2，而B1中包含r2个线性无关向量，所以我们可以得知B1是C(A)的一个基。同样地，由于R(A)的维度为r1，而B2中包含r1个线性无关向量，所以B2是R(A)的一个基。
接下来，我们考虑在矩阵A的列空间C(A)中，通过列向量的线性组合所生成的向量空间。这个向量空间的维度也为r2，因为它和C(A)具有相同的维度。我们可以找到一个由r2个线性无关向量组成的集合B3，其中每个向量都可以通过列空间C(A)中的线性组合得到。
现在，我们可以开始证明矩阵A的行秩等于列秩。我们注意到，集合B2中的每个行向量都可以通过矩阵A的行向量的线性组合得到。由于矩阵A的所有行向量都包含在行空间R(A)中，所以我们可以将集合B2加到B3中，得到一个包含r2+r1个向量的集合B4。这个集合中的每个向量都可以通过矩阵A的列向量的线性组合得到。又由于r2+r1=r2，所以这个集合是一个线性无关集合。
综上所述，我们找到了一个包含r2个线性无关向量的集合B4，其中每个向量都可以通过矩阵A的列向量的线性组合得到。由于C(A)的维度为r2，所以我们可以得知B4是C(A)的一个基。然而，C(A)的维度为r2，所以B1也是C(A)的一个基。因此，我们可以推导出集合B1和B4是相等的，即矩阵A的列向量的极大线性无关组中的向量个数等于矩阵A的行向量的极大线性无关组中的向量个数。因此，矩阵A的行秩等于列秩。
以上是第一种证明方法，基于矩阵空间的观点。下面，我们将介绍第二种证明方法，基于线性映射的观点。
在线性代数中，我们将矩阵视为线性映射的矩阵表示。一个m×n的矩阵A可以看作是将n维向量空间R^n的向量映射为m维向量空间R^m的线性映射。在这个线性映射下，我们可以定义映射后的向量的维度和映射前的向量的维度之间的关系。
假设我们有一个m×n的矩阵A，其行秩为r1，列秩为r2。记V为n维向量空间R^n，W为m维向量空间R^m。根据线性映射的定义，我们可以得知行秩r1即为映射后向量空间W的维度，列秩r2即为映射前向量空间V的维度。
根据线性映射的基本性质，我们知道一个线性映射的核（Nullspace）是将零向量映射为零向量的向量子空间。对于矩阵A，我们可以定义其核为N(A)，其中N(A)={x∈R^n|Ax=0}。同样地，我们可以定义矩阵A的列空间C(A)={Ax|x∈R^n}，即由A的所有列向量组成的向量子空间。
现在，让我们来考虑线性映射的核和像的关系。对于矩阵A，我们可以定义一个线性映射f：V→W，其中f(x)=Ax，对于任意x∈V。根据线性映射的基本性质，我们可以得知将V中的向量x映射到W中的向量f(x)所得到的向量其实是C(A)中的一个向量。
根据上述定义，我们可以将矩阵A的行秩r1（即W的维度）看作f(x)的维度。而对于线性映射f，其核N(f)={x∈V|f(x)=0}，即将向量x映射为零向量的向量子空间。我们知道，任意一个向量空间的维度等于该空间的极大线性无关组中向量的个数。因此，我们可以找到一个包含r2个线性无关向量的集合B5，其中每个向量都可以通过N(f)中的向量的线性组合得到。
现在，我们来证明矩阵A的行秩等于列秩。根据线性映射的定义，N(A)={x∈R^n|Ax=0}，而N