自动控制原理（北航）电子教案 第5章 线性系统的频域分析法13.doc

第13讲第5章线性系统的频域分析法
Frequency-responseanalysis
5.1频率特性及其表示法
5.2典型环节对数频率特性曲线的绘制
5.3典型环节的幅相曲线的绘制
5.4稳定裕度和判据
5.3极坐标图(Polarplot)，幅相频率特性曲线，奈奎斯特曲线
5.3.1积分与微分因子
5.3.2一阶因子
5.3.3二阶因子
5.3.4传递延迟

图5-33(a)传递延迟的极坐标图
图5-33(b)和的极坐标图

可以写成
因为的幅值总为1，而相角随线性变化，所以传递延迟的极坐标图是一个单位园圆，如图5-33(a)所示。在低频时，传递延迟与一阶环节的特性相似，如图5-33(b)所示。
当时，

当时，两者存在本质的差别。
5.3.5极坐标图的一般形状

图5-34(a)0型1型和2型系统的极坐标图(b)高频区域内的极坐标图

即0型系统：极坐标图的起点是一个位于正实轴的有限值。对应于的极坐标图曲线的终点位于坐标原点，并且这一点上的曲线与一个坐标轴相切。
1型系统：在总的相角中，的相角是项产生的。在低频时，极坐标是一条渐近于平行与虚轴的直线的线段。当时，幅值为零，且曲线收敛于原点，且曲线与一个坐标轴相切。
即2型系统：在总相角中的相角是由项产生的。
0型、1型和2型系统极坐标图低频部分的一般形状如图5-34(a)所示。如果的分母多项式阶次高于分子多项式阶次，那么的轨迹将沿者顺时针方向收敛于原点。当时，轨迹将与实轴或虚轴相切如图5-34(b)所示。
极坐标图曲线的复杂形状都是由分子的动动态特性引起的。由分子的时间常数决定的。
5.4对数幅-相图(NicholsChart)尼柯尔斯图

图5-34二阶因子对数幅-相图
5.5奈奎斯特稳定判据(NyquistStabilityCriterion)

图3-35闭环系统
考虑图5-35所示的闭环系统，其闭环传递函数为

为了保证系统稳定，特征方程

的全部根，都必须位于左半s平面。虽然开环传递函数的极点和零点可能位于右半s平面，但如果闭环传递函数的所有极点均位于左半s平面，则系统是稳定的。
奈奎斯特稳定判据正是将开环频率响应与在右半s平面内的零点数和极点数联系起来的判据。这种方法无须求出闭环极点，得到广泛应用。由解析的方法和实验的方法得到的开环频率特性曲线，均可用来进行稳定性分析。
奈奎斯特稳定判据是建立在复变函数理论中的图形影射基础上的。
假设开环传递函数可以表示成s的多项式之比。对于物理上可实现的系统，闭环传递函数的分母多项式的阶数必须大于或等于分子多项式的阶数，这表明，当s趋于无穷大时，任何物理上可实现系统的的极限，或趋于零，或趋于常数。
5.5.1预备知识

可以证明，对于S平面上给定的一条不通过任何奇点的连续封闭曲线，在平面上必存在一条封闭曲线与之对应。平面上的原点被封闭曲线包围的次数和方向，在下面的讨论中具有特别重要的意义。我们将包围的次数和方向与系统的稳定性联系起来。例如考虑下列开环传递函数：

其特征方程为：

函数在s平面内除了奇点外处处解析。对于s平面上的每一个解析点，平面上必有一点与之对应。例如，则为：

这样，对于s平面上给定的连续封闭轨迹，只要它不通过任何奇点，在平面上就必有一个封闭曲线与之对应。
S平面平面

（a）

(b)

(d)

图5-36s平面上的图形在平面上的保角变换
图5-36（a）所示为上半s平面内的直线和在平面上的保角变换。例如，上半s平面内的直线映射到平面上，就变成了平面上的的曲线。对于s平面上顺时针转出的轨迹ABCD，其在平面上对应曲线是A1B1C1D1。曲线的箭头表示运动方向。根据保角变换的性质，s平面相上和平面上对应的角度是相等的，并且具有相同的意义（例如，因为s平面内的直线AB与CD相互垂直，所以在平面上A1B1与C1D1在B1点也构成直角）。由图5-36(b)可以看出，当s平面上的图形包围两个的极点时，的轨迹将反时针方向包围平面上原点两次。
在的平面上，图形包围原点的次数，取决于s平面上的封闭曲线。例如，这个曲线当s平面上的图形包围的两个极点和两个零点，相应的的轨迹将不包围原点。如图5-36（c）所示。如果这个曲线只包围一个零点，相应的的轨迹将顺时针包围原点一次，如图5-36（d）所示。如果s平面上的封闭曲线既不包围原点又不包围极点，的轨迹将永远不会包围平面上的原点，如图5-36（d）所示。
对于s平面上的每一点，除了奇点外，在平面上只有一个相应的点与之对应，即从s平面到平面的影射是一一对应的。但是，从平面到s平面的影射不是一一对应的，因为对于平面上的某一给定点，在s平面上可能有一个以上的点与之对应。例如如图5-36（c）中，对于平面上的B1点，在s平面上与之对应的有(-3,3)和(0,-3)两个点。