自动控制原理（北航）电子教案 第5章 线性系统的频域分析法(第14讲).doc

第14讲第5章线性系统的频域分析法
Frequency-responseanalysis
5.1频率特性及其表示法
5.2典型环节对数频率特性曲线的绘制
5.3极坐标图(Polarplot)，幅相频率特性曲线，奈奎斯特曲线
5.3.1积分与微分因子
5.3.2一阶因子
5.3.3二阶因子
5.3.4传递延迟
5.4对数幅-相图(NicholsChart)尼柯尔斯图
5.5奈奎斯特稳定判据(NyquistStabilityCriterion)
5.5.1预备知识
5.5.2影射定理
5.5.3影射定理在闭环系统稳定性分析中的应用
5.5.4奈奎斯特稳定判据
5.5.5关于奈奎斯特稳定判据的几点说明
5.5.6含有位于上极点和/或零点的特殊情况
5.6稳定性分析
*5.6.1条件稳定系统
*5.6.2多回路系统
*5.6.3应用于逆极坐标图上的奈奎斯特稳定判据
*5.6.4利用改变的奈奎斯特轨迹分析相对稳定性
5.7相对稳定性
5.7.1通过保角变换进行相对稳定性分析
5.7.2相位裕度和增益裕度
例5-8一单位反馈控制系统的开环传递函数为
式中均为正值。为使系统稳定，开环增益与时间常数之间满足什么关系？
解：

此式太复杂利用上式直接令虚部为零即可。
虚部为零与负实轴相交于

画出一半利用对称性画出另一半。

图5-45b例5-8题的极坐标图

图5-46的极坐标图
图５-46所示为3种具有不同开环增益值的极坐标图。对于大的K值，系统是不稳定的。当增益减小到一定值时，的轨迹通过点。对于小的K值，系统是稳定的。
一般来说，的轨迹越接近与包围-1+j0点，系统响应的震荡性越大。因此，的轨迹对点的靠近程度，可以用来度量稳定裕量(对条件稳定系统不适用)。在实际系统中常用相位裕量和增益裕量表示。

Positive
GainMargin
Positive
PhaseMargin
-1
1
Negative
GainMargin
Negative
PhaseMargin
-1
1
StableSystem
UnstableSystem

图5-47稳定系统和不稳定系统的相位裕度和幅值裕度
相位裕度、相角裕度(PhaseMargin)
设系统的截止频率(Gaincross-overfrequency)为

定义相角裕度为

相角裕度的含义是，对于闭环稳定系统，如果开环相频特性再滞后度，则系统将变为临界稳定。
当时，相位裕量相位裕度为正值；当时，相位裕度为负值。为了使最小相位系统稳定，相位裕度必须为正。在极坐标图上的临界点为0分贝和-180度。
增益裕度、幅值裕度(GainMargin)
设系统的穿越频率(Phasecross-overfrequency)
，
定义幅值裕度为

幅值裕度的含义是，对于闭环稳定系统，如果系统开环幅频特性再增大倍，则系统将变为临界稳定状态。
若以分贝表示，则有

当增益裕度以分贝表示时，如果，则增益裕度为正值；如果，则增益裕度为负值。正增益裕度(以分贝表示)表示系统是稳定的；负增益裕度(以分贝表示)表示系统是不稳定的。
对于稳定的最小相位系统，增益裕度指出了系统在不稳定之前，增益能够增大多少。对于不稳定系统，增益裕度指出了为使系统稳定，增益应当较少多少。
一阶或二阶系统的增益裕度为无穷大，因为这类系统的极坐标图与负实轴不相交。因此，理论上一阶或二阶系统不可能是不稳定的。当然，一阶或二阶系统在一定意义上说只能是近似的，因为在推导系统方程时，忽略了一些小的时间滞后，因此它们不是真正的一阶或二阶系统。如果计及这些小的滞后，则所谓的一阶或二阶系统可能是不稳定的。
5.7.3关于相位裕度和增益裕度的几点说明
控制系统的相位裕度和增益裕度是系统的极坐标图对-1+j0点靠近程度的度量。因此，这两个裕度可以用来作为涉及准则。
只用增益裕度和相位裕度，都不足以说明系统的的相对稳定性。为了确定系统的相对稳定性，必须同时给出这两个量。
对于最小相位系统，只有当相位裕度和增益裕度都是正值时，系统才是稳定的。负的裕度表示系统不稳定。适当的相位裕度和增益裕度可以防止系统中元件变化造成的影响，并且指明了频率值。为了得到满意的性能，相位裕度应当在之间，增益裕度应当大于6分贝。
例5-9已知一单位反馈系统的开环传递函数为。
试求：K=1时系统的相位裕度和增益裕度。要求通过增益K的调整，使系统的增益裕度20logh=20dB，相位裕度。
解：

即

在处的开环对数幅值为

根据K=1时的开环传递函数，可以求出截止频率(Gaincross-overfrequency)为

由题意知

验证是否满足相位裕度的要求。
根据的要求，则得：

不难看出，就能同时满足相位裕度和增益裕度的要求。

图5-48