高中数学 必修1 第二章 基本初等函数(Ⅰ) 基本初等函数(Ⅰ).pdf

1指数与指数运算疑点透析

1.如何理解n次方根的概念

n
若一个数x的n次方等于a，那么x怎么用a来表示呢？是x＝a吗？这个回答是不完整的.
正确表示应如下：

n
a，n为奇数
n
x＝±a，n为偶数，a＞0
不存在，n为偶数，a＜0
0，a＝0

主要性质：

n
①当n为奇数时，an＝a；

na，a≥0，
②当n为偶数时，an＝|a|＝
－a，a＜0.
2.如何理解分数指数幂的意义

mmmn
分数指数幂an不可以理解为个a相乘，它是根式的一种新的写法.规定an＝am(a＞0，
n

m
11
m，n∈N*，且n＞1)，an＝＝(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)，在这样的规定下，根
mn
anam
式与分数指数幂表示相同意义的量，它们只是形式上不同而已.0的正分数指数幂为0,0的负
分数指数幂无意义，负数的分数指数幂是否有意义，应视m，n的具体数而定.
3.分数指数幂和整数指数幂有什么异同
相同：分数指数幂与整数指数幂都是有理数指数幂，都可以利用有理数指数幂的运算性质进

行运算.其运算形式为ar·as＝ar＋s；(ar)s＝ars；(ab)r＝ar·br，式中a＞0，b＞0，r、s∈Q，对
于这三条性质，不要求证明，但需记准.
不同：整数指数幂表示的是相同因式的连乘积，而分数指数幂是根式的一种新的写法，它表
示的是根式.
4.指数幂的运算
在这里要注意的是，对于计算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负
指数.

9
333
例1化简a2a3÷a－7a13.

11
913112
解原式＝a2a32a73a133


91713

＝a6a2a6a6


97313

＝a6666＝a0＝1.

2
4
例2求8193的值.

1
14
42
3433
解原式＝



1
21417
446
＝3333436＝33.


例1、例2两道例题都既含有分数指数幂又有根式，应该把根式统一化成分数指数幂的形式，
便于计算.

2解读指数函数的四个难点

在学习了指数函数的性质后，下面来分析突破指数函数的几大难点，供同学们学习掌握.
难点之一：概念

指数函数y＝ax有三个特征：①指数：指数只能是自变量x，而不能是x的函数；②底数：
底数为常数，大于0且不等于1；③系数：系数只能是1.

例1给出五个函数：①y＝2×6x；②y＝(－6)x；③y＝πx；

④y＝xx；⑤y＝22x＋1.
以上是指数函数的个数是________.
分析根据所给的函数对系数、底数、指数三个方面进行考察，是否满足指数函数的定义.

解析对于①，系数不是1；对于②，底数小于0；对于④，底数x不是常数；对于⑤，指

数是x的一次函数，故①、②、④、⑤都不是指数函数.正确的是③，只有③符合指数函数

的定义.

答案1
难点之二：讨论

指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)，当a＞1时，是增函数；当0＜a＜1时，是减函数.
a
例2函数y＝ax(a＞0，且a≠1)在[1,2]上的最大值比最小值大，求a的值.
2

分析遇到底数是参数时，应优先分类讨论，此题应先对a进行分类讨论，再列出方程并求

出a.

a
解当a＞1时，函数y＝ax在[1,2]上的最大值是a2，最小值是a，依题意得a2－a＝，即
2

3a3
a2＝，所以a＝；当0＜a＜1时，函数y＝ax在[1,2]上的最大值是a，最小值是a2，依题
22

aa1
意得a－a2＝，即a2＝，所以a＝.
222

31
综上可知，a＝或a＝.
22

难点之三：复合

指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)与一次函数、反比例函数及二次函数等进行复合时，特别是
研究单调性时，应掌握好“同增异减”法则.

1x2x2
例3求函数y＝的单调递减区间.
3

分析指数函数与指数型复合函数的区别在于，指数自变量是x还是x的函数.此题先求出

函数的定义域，再利用复合函数的“同增异减”法则求解.

19
解由－x2＋x＋2≥0知，函数的定义域是[－1,2].令u＝－x2＋x＋2＝－(x－)2＋，则y＝
24

1u11
，当x∈[－1，]时，随x的增大，u增大，y减小，故函数的递减区间为[－1，].
322

难点之四：图象

指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的图象特征是：当a＞1时，在y轴的右侧，a越大，图象越
往上排；在y轴左侧，a越大，图象越往下排.当0＜a＜1时恰好相反.
例4利用指数函数的图象比较0.7－0.3与0.4－0.3的大小.

分析可在同一坐标系中作出y＝0.7x及y＝0.4x