存在性问题复习专题教案.doc

“存在性问题”复习专题
长治市城区康园中学张瑜
2017.4.20
复习目标：
1．进一步探究“存在性问题”的解题策略，提高信息提取、思路分析与综合表达的能力．
2．经历变式探究活动，了解几类存在性问题及思路的联系与区别，感受数学直观与数学推理，体验数形结合、反证、分类等数学思想方法，逐步养成严谨的思维习惯．
复习重点：“存在性问题”探究方法．
复习难点：“存在性问题”探究策略的选择．
复习过程：
A
C
B
x
y
O
图1
一、问题预热
如图1，二次函数的图像与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．设，．
（1）求点A、B、C的坐标；
（2）在线段AB上是否存在点P，使得∠PCB=∠BAC？如果存在，求出P点坐标；如果不存在，说明理由．
【思考1】此类问题的一般思路是什么？
A
C
B
x
y
O
Q
P
图2
【点评】“是否存在A，使满足B”，A是条件，B是结论．“假设B存在，由B→A”是逆命题，“由B得到了A”不一定“由A得到B”，必须证明A→B．如第（2）问求出点P坐标后要证明P的坐标使得∠PCB=∠BAC．由于几何问题大多可逆，最后要写上“以上步骤步步可逆”．这是常见的存在性问题．
二、问题探究
【问题1】如图2，在题根基础上，点P从A点出发沿AB向B运动，点Q从C点出发沿CA向A运动，点P、Q同时出发，速度都是每秒1个单位长度，当其中一个点到达端点时另一个点即停止运动．是否存在点P，使得△APQ的面积为3？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．
【点评】（1）问题（1）先假设结论存在，最后得到矛盾，说明结论不存在，实质上是反证法的思想．（举例）；
【思考2】问题（1）与变式①可否有其他方法？（函数法、方程法）
【点评】用函数解决最大最小问题是一种常用方法．
【思考3】在点P、Q运动时，图形有哪些变化？能否将该“△APQ的面积为3”进行变式？（在老师引导下学生自主提出问题并讨论，教师视情况列出各种可能）
变式①：将△APQ的面积为（自己选择一个合适的值）；
变式②：△APQ的面积最大；
变式③：PQ⊥AC；
变式④：C、O、P、Q四个点在同一个圆上；
变式⑤：△APQ∽△AOC；
变式⑥：以A、P、Q为顶点的三角形是直角三角形；
变式⑦：以A、P、Q为顶点的三角形与△AOC相似；
变式⑧：以A、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形；
【点评】由点的运动导致图形的不确定，因此需要分类，分类要不重不漏，即分层有序．如变式⑧第一层次按边分AP为底和腰两种情形．（以上变式视课堂情况而定）
【问题2】：将变式⑧改为“试猜想：是否存在点P，使得以A、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请举例验证你的猜想；若不存在，请说明理由．”
【思考4】问题“举例验证”的含义是什么？问题如何思考？
【点评】“举例验证”即“如果存在”只要举一例，不论存在多少种情形，也不论此情形是怎么得到的，均与答题过程无关，不必写出“找”的过程，重在验证．认真审题并根据题意选择适当的方法是关键．
A
C
B
x
y
O
图3
【思考5】如果将“求出P点的坐标”改为“写出P点的坐标”如何解？
【点评】“求出”就要写出“求”的过程，而“写出”是直接写出满足条件的结果．
【问题3】在问题1中，设点G、H是二次函数图像在x轴上方的两个动点，试猜想：是否存在这样的点G、H，使△AGH≌△ABH？如果存在，请举例验证你的猜想；如果不存在，请说明理由．
【点评】如果在抛物线上找点G，使AG=AB，可以A为圆心、AB长为半径画圆，与抛物线有3个交点，但要求出坐标比较困难．问题2也是举例验证，与上题类似，由上面的计算与直觉知：AC=AB=5，故C点就是其中一个点．这说明除了知识外，经验、直觉也很重要，有时需要“几何直观”、“数感”，要靠平时的积累．
三、归纳反思
（1）通过本节课复习，我们掌握了“存在性问题”探究路径是什么？
（2）“存在性问题”探究与解答时需要注意什么？
（3）在探求过程中运用了哪些数学思想？
四、巩固内化
并选择部分问题讲练结合）
四、课后作业
1．完成学案；
2．补充：
（1）已知n为正整数，对于给定的正实数m，是否存在n，使关于x的方程有两个相等的实数根？如果存在，用m的代数式表示n；如果没有，说明理由．
A
C
B
x
y
O

（2）二次函数中，若2a-b>3，二次函数的图像与x轴是否存在公共点，请说明理由．
（3）如图，二次函数中，设a=-1，b>0，点D（n，）、E（n+1，）、F（n+2，）在该二次函数图像上，其中n为正整数．对于给定的正实数b，是否存在n，使△DEF是以DF为底边的等腰三角形？如果存在，求n的值(用含b的代数式表示)；如果不存在，请说明理由．