二次函数在给定区间的最大（小）值.doc

教学案例二次函数在给定区间的最大（小）值
厦门市集美区灌口中学吴清平
案例背景分析
1、求函数的最大（小）值的常用方法很多，有配方法、判别式法、不等式法、换元法、数形结合法、单调性法等，以前的教学中，我们曾尝试用2课时讲授，效果并不好，学生反映“开始还能听懂，越听越模糊，这么多的方法，到底选择哪一种才是突破口呢？”但函数的最值却是函数的重要性质，尤其是建立函数模型的应用题，常常是求最值的问题。新课程引入了导数后，利用单调性求函数的最值成了非常常规的方法，是学习函数必须掌握的重要知识内容。
2、二次函数是重要的基本初等函数，引入参数后，其内容千姿百态，丰富多彩，是倡导学生自主探索、动手实践、合作交流的良好题材，有助于发挥学生学习的主动性，使学生的学习过程成为教师引导下的“再创造”过程。
3、数形结合和分类讨论思想是数学最基本的思想方法，渗透于高中教学的全过程，但却是学生不易接受的内容。在几何画板的帮助下，可以让学生经历直观感知、观察发现、归纳类比、抽象概括、运算求解、演绎证明、反思与构建等思维过程，这些过程是数学思维能力的具体体现，有助于学生对客观事物中蕴涵的数学模式进行思考和做出判断。
基于以上的背景，我们决定利用几何画板为工具，以二次函数为主要研究内容，利用单调性探究其最值，并设计了如下教学案例《二次函数在给定区间的最大（小）值》。
教学案例设计
一、三维目标定向
〖知识与技能〗进一步领会函数的最大（小）值及其几何意义，会用函数的单调性求一些函数的最大（小）值。
〖过程与方法〗体会单调性在解决函数有关问题中的重要作用，提高应用知识解决问题的能力。
〖情感、态度与价值观〗体会数形结合、分类讨论思想的应用，培养学生的逻辑思维能力。
二、教学重难点
〖重点〗利用单调性求函数的最大（小）值。
〖难点〗对参数的讨论及整体把握。
三、教学过程设计
1、引例：
（1）求函数的最大、最小值。
解：，函数的对称轴为，所以函数在[2，4]上为增函数，从而当x=4时，y取最大值16–8=8；当x=2时，y取最小值4–4=0。
（2）求函数的最大、最小值。
解：，函数的对称轴为，所以当x=1时，y取最小值–1；又当x=0时，y=0，当x=2时，y=0，所以y取最小值0。
一般结论：
（Ⅰ）配方，求对称轴；
（Ⅱ）判断是否属于给定区间[m,n]：
①若，则，再求，较大者为最大值；
②若，则求，较大者为最大值，较小者为最小值。
对于a<0的情形，学生可类似a>0给出结论。
2、学生探究：
（1）求函数的最大、最小值。
解决策略：
配方得：，所以对称轴为x=1；
（Ⅰ）最小值：①当，即时，函数的最小值为；
②当t>1时，函数在区间[t,t+2]上为增函数，所以当x=t时，函数的最小值为；
③当t<–1时，函数在区间[t,t+2]上为减函数，所以当x=t+2时，函数的最小值为。
（Ⅱ）最大值：函数的开口向上，，令
，
所以当时，函数的最大值为；
当t>0时，函数的最大值为。
（2）求函数的最值。
解决策略：
配方得：，对称轴为。
（Ⅰ）最大值：①当，即时，函数的最大值为；
②当b>8时，函数在区间[2,4]上为增函数，所以当x=4时，函数的最大值为；
③当b<4时，函数在区间[2,4]上为减函数，所以当x=2时，函数的最小值为。
（Ⅱ）最小值：函数的开口向下，，令
，
所以当时，函数的最小值为；
当b>6时，函数的最大值为。
3、案例拓展
1、已知二次函数在区间[–1,4]上的最大值是12，求实数a的值。
2（2006年福建高考数学试题）求函数在区间[t,t+1]上的最大值。
3、已知函数，
（1）当a=–1时，求的最值；
（2）求实数a的取值范围，使在[–5,5]上是单调函数。
4、已知函数在区间[0，1]上有最大值–5，求a的值。
案例分析与反思
1、教学以案例探究为主线，由浅入深，循序渐进，从特殊的函数过渡到含有参数并引导学生讨论的探索性问题，符合学生的认知规律，体现了新课程“倡导自主探索、动手实践、合作交流等数学学习的方式”，“为学生形成积极主动的、多样的学习方式创造有利的条件，以激发学生的数学学习兴趣，鼓励学生在学习过程中，养成独立思考、积极探索的习惯”等教学理念，从课堂活动中学生的积极参与、独立思考、师生互动可见一斑。
2、函数的图象是教学的重点，大部分性质可经历直观感知而得，但却是学生学习的障碍，尤其是引进参数后，由于图象或区间的变化，需对其进行分类讨论，学生因其过于抽象而难以理解，本案例充分利用几何画板的强大的作图功能，让图象或区间动起来，直观地展示参数对图象的影响情况，实现信息技术与课程内容的有机整合。
3、学生探究的两个问题分别从区间变化及对称轴变化、开口向上和开口向下的角度来揭示函数的最大值、最小值的具体情形，包括了二次函数最值问题的