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勾股定理例题选讲
初学勾股定理，看起来容易，做起来难。因为它涉及的知识面广，又是进一步学习解三角形的基础，因此建议大家要扎扎实实打基础，认认真真做练习，掌握解决典型问题的基本方法和技能。一、要重视勾股定理证明的思想方法学习数学，主要是通过数学定理，公式的证明来学习数学，因为我们可以从证明和解决问题的过程中，学习如何思考？如何将问题转化，逐步解决的？学习解决问题时采用的策略、思想方法、技能技巧等。例1.在直线l上依次摆放着七个正方形(如图1所示)，已知斜放置的三个正方形的面积分别是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是S1、S2、S3、S4，则S1+S2+S3+S4=____

分析：在证明勾股定理时，有一种证法是如图2所示的由四个全等的直角三角形拼接成边长为(a+b)的大正方形，中间是边长为c的正方形。

由，推出a2+b2=c2依据这个图形的基本结构，可如图2中分别依次设线段a、b、c、d

则有a2+b2=1，c2+d2=3，S1=b2，S2=a2，S3=c2，S4=d2S1+S2+S3+S4=b2+a2+c2+d2=1+3=4例2.如图3，图中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若所有的正方形的面积之和为507cm2，试求最大的正方形的边长。分析：此题显然与勾股定理的几何意义有关，即S1+S2=S3，S5+S6=S4，S3+S4=S阴所以S1+S2+S5+S6=S3+S4=S阴从而有3S阴=507，即S阴=169(cm2)∴最大的正方形的边长为13cm例3.已知：如图4，四边形ABCD中，∠A=60°，∠ADC=∠ABC=90°，AB=3，DC=2，求四边形ABCD的面积

分析：有的同学不加思索地连结AC，这不仅破坏了∠BAD=60°的整体性，而且还认为AC平分∠BAD，这就更加错上加错。有的同学用“分割”的方法解此题，如图5，作DE⊥AB于E点，作CF⊥DE于F点，这种作法应该肯定，不仅将四边形的问题转化为解直角三角形的问题，而且分割后的每个图形都可解。最好的作法是“补形”的方法，如图6所示，延长AD、BC，设它们交于E点，由已知可得：S四边形ABCD=S△ABE-S△EDC二、要学会用方程观点解题例4.已知：如图7，△ABC中，AB=3，BC=4，∠B=90°，若将△ABC折叠，使C点与A点重合，求折痕EF的长。分析：当解这样的问题时，由轴对称的概念，自然想到连AF。由已知，可得，因此欲求EF，只要求AF的长。设AF=x，则FC=x，BF=4-x只要利用Rt△ABF中，AF2-BF2=AB2这个相等关系布列方程x2-(4-x)2=9，问题就可以解决例5.在Rt△ABC中，∠C=90°，若a，b，c为连续整数(a<b<c)，求a+b+c分析：有的同学认为，在Rt△ABC中，∵a、b、c为连续整数，∴a=3,b=4,c=5，即a、b、c不可能是别的数。这个同学的结论是正确的，但没有推理论证，正确的解法是设b=x(x为正整数，且x≥2)，由已知，则a=x-1，c=x+1∵c2-a2=b2∴(x+1)2-(x-1)2=x2即4x=x2，又∵x>0，∴只有x=4∴a+b+c=(x-1)+x+(x+1)=3x=12例6.已知：如图8，△ABC中，AB=13，BC=21，AC=20，求△ABC的面积。分析：为了求△ABC的面积，只要求出BC边上的高AD若设BD=x，则DC=21-x，只要利用AB2-BD2=AD2=AC2-DC2这个相等关系，列方程132-x2=202-(21-x)2，求出x的值问题就能解决三、要充分注意三角形的可解条件例7.已知：△ABC中，AB=13，AC=5，高AD=4，则BC边的长应为多少？分析：我们关注可解条件，一方面是审视题目中给出的条件是否足够充分，另一方面是要考虑在已知条件下，图形的形状大小是否唯一确定。为了防止解题失误，不防先以高AD=4为直角边，AB=13为斜边作直角△ABD(如图9)，显然这个图形是唯一确定的，只要再依第三个条件，确定△ABC的第三个顶点。如图10.当我们以A为圆心，AC=5为半径画弧时发现它与直线BD交于C1、C2两点，故此题有两解。当垂足D点在BC边上时当垂足D点在BC边的延长线上时例8.已知：如图11，在正方形ABCD中，F是DC边中点，E为CB的四等分点()，求证：AF⊥FE

分析：此题中图形的形状确定，而大小不确定，为了便于推理，不妨设CE=a，这样图形的大小也就认为确定了，即可认为图形可解，这样如图所示，连结AE所有线段都可用含a的代数式表示在△AEF中，∴∠AFE=90°，即AF⊥EF