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函数的值域和最值的求法
四川省中江中学胡志华邮编618100电话[phone]
函数的值域在函数的应用中占有非常重要地地位，近年来的高考试题中，一般不直接考查函数的值域，往往作为综合题的一部份来考查，函数的最值问题是常见问题，它的求法类似于值域的求法。
函数的值域，必须重视对应法则的作用，以及定义对值域的限制和影响。注意观察函数的特征，选择适当方法求值域。
例1、求下列函数的值域
<1>y=<2>y=
解<1>解法一、（分离常数法）y==1+x0
102x1
当0<102x<1时，-1<102x-1<0y<1+=-1
当102x>1时，102x-1>0>0y>1
综上y(-,1)(1,+)
解法二（反函数法）y=(x0)102x=(y1)
由x0102x1且102x>0>0(y+1)(y-1)>0y<-1或y>1即值域为（-，-1）（1，+）
<2>解法一（数形结合法）y=表示动点到－1，2的距离和，从数轴知ynin=3,y[3,+)
解法二（绝对不等式法）y=y

例2、（03年南通）已知函数y=的值域为[1，9]则函数y=的值域是
解（判别式法、配方法）由y=，方程有解＝，由a=b=5ax2+8x+b=5x2+8x+5=5(x+)2+

例3、（05年全国III.21）用长为90cm，宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90度，再焊接而成（如图），问该容器的高为多少时，容器的容积最大？最大容器是多少？

解（求导法）设容器市为Xcm，容器的容积为V（x)cm2
则V（x)=x(90-2x)(48-2x)=4x3-276x2+4320(0<x<24)
求V（x)的导数，得：
V`(x)=12x2-552x+4320=12(x-10)(x-36)
令V`(x)=0得X1=10，X2=36（舍去）。
当0<x<10时，V`(x)>0，那么V(x)为增函数；
当10<x<24时，V`(x)<0，那么V(x)为减函数；
因此，在定义域（0，24）内，函数V(x)只有当X＝10时，取得最大值，其最大值为V(10)＝19600（cm3)
答：当容器的高为10cm时，容器的容积最大，最大容器为19600cm3

例4、（05年全国II、21）P、Q、M、N四点都在椭圆x+=1上。F为椭圆上Y轴上的焦点，已知与共线，与共线，且.=0，求四边形PMQN的面积的最小值和最大值。
解（换元法、均值不等式法、单调性法）。
已知：如图：由条件知MN和PQ上椭圆的两条弦交于焦点F（0，1）。且PQMN。直线PQ，MN中至少一条存在斜率。不妨设PQ的斜率为K又PQ过点F（0，1）故PQ方程为将此式代入椭圆方程得：设P、Q两点的坐标分别为（x1，y1),(x2,y2)
F
y
Q
M
则x1=x2=从而2=(x1-x2)2+(y1-y2)2=即=
O
x
p
<1>当k0时，MN的斜率为-同上可推得
N
=故四边面积S=.=
=令u=k2+得S==2(1-)因为u=k2+2，当k=1时u=2，S=且S是以u为自变量的增函数，所以
<2>当k=0时，MN为椭圆长轴，=，S=
综上<1>、<2>知，四边形PMQN面积的最大值为2，最小值为