《数图》第8章 图像重建.ppt

数字图像处理基础图像重建－－图像的三维重建：在不损坏物体的前提下，借助于透视和计算机技术获取物体内部某种参数、由该参数建立三维“图像”的过程。

多直线的投影图物体的横截面（断层）的“图像”数据
断层图像叠加三维“图像”

横截面“图像”－－并不代表亮度（和普通图像不同），
代表具体物体的某一物理数据：
如物体的密度、物体对射线的衰减系数等成像方式：透射断层成像、发射断层成像、反射断层成像。
成像种类：X射线成像、超声成像、微波成像、
核磁共振成像、激光共焦成像、……
医疗应用：计算机断层成像（CT，ComputedTomography），
磁共振成像（MRI，MagneticResonanceImaging），
正电子发射成像（PET，PositronEmissionTomography）。
主要内容：
投影重建的主要类型和投影定理；
傅立叶反变换的投影重建，卷积的逆投影的重建，级数展开的重建；
CT图像重建技术。第1节投影重建基础投影重建：
从一个物体的多条直线上的投影图重建二维图像的过程。
具体问题：
投影重建的理论保证、用什么射线、如何检测、射线如何排列、……1.投影重建方式
例：对于三维函数f(x,y,z)：看成是一个密度未知的铁块，内部无法进入，
将此铁块切成若干非常薄的铁片，
求出其中每一薄片的密度，则可知道全部铁块的密度。

求三维函数值的问题转化为求二维函数值的问题，
把二维函数当作一幅图像来对待，求函数值就是图像的投影重建，
重建若干二维图像，堆叠成三维函数（图像）。
－－这一套方法称之为三维图像重建。（1）透射断层重建
透射（transmission）投影成像：
当位于物体外部的射线穿过物体后在检测器上得到的值实际上就叫做射线的投影。
等强度的射线透过不同密度分布物体时得到的投影值不同，
投影值相同不能判断物体的密度相同。

因此，投影重建时需要一系列投影
才能重建二维图像。（2）发射断层重建
发射（emission）断层成像系统：
发射源在物体内部，
从物体外检测放射量。
检测到物体内部组织的结构分布。
正电子发射成像（PET，PositronEmissionTomography）
放射源衰减时放出正电子的放射性离子，
正电子与负电子相撞湮灭而产生一对相背运动的光子。
相对放置的两个检测器接收到这两个光子就可以确定一条射线。检测器围绕物体呈环形分布，相对的两个检测器构成一组检测器，检测由一对正负电子产生的光子，（3）反射断层重建
反射（reflection）断层成像：
射线入射到物体上，检测经物体反射（散射）后的信号来重建图像。
入射波信号：例如单色平面波，直接发射到物体上；
反射波信号：被接收器接收到，代表物体的特征参数（声速、密度等）。
应用：
医用超声成像，获取人体软组织的反射超声强度；
如合成孔径雷达成像，获取回波强度。（4）磁共振成像
磁共振成像（MRI）：
氢核中随机排列的具有一定动量和旋量的质子在磁场中旋转，
当适当强度和频率的共振场信号作用于物体时，质子吸收能量并转向，
共振场信号除去，质子吸收的能量将以相同频率的电磁波形式被释放，
根据检测到的信号强度就可以确定某一方向上物体质子的密度。图8.4二维函数f(x,y)在x,y坐标轴上投影设f(x,y)的傅立叶变换为F(u,v)：
(8.3)

(8.4)

上式表明：gy(x)是F(u,0)的傅立叶反变换。
gx(y)是F(0,v)的傅立叶反变换。
“切片”定理：函数f(x,y)在x轴上投影的傅立叶变换等于f(x,y)的傅立叶变换在
(u,v)平面上沿u轴（v=0）平面上的“切片”。将投影原理推广到一般情况：
x-o-y坐标围绕原点旋转θ度后标记为ρ-o-t坐标，直线ρ与x轴的夹角为θ。
函数f(x,y)沿着t方向在轴ρ上的投影为：
(8.6)
上式对ρ进行一维傅立叶变换：
(8.7)
R是傅立叶频率分量。
用（8.5）的坐标变换关系式将上式右边的变量ρ和t统一成x和y，
多元函数积分中变量代换的Jacob行列式：

(8.9)
将J代入（8.8）式，完成变量代换，
(8.10)
将R看作二维频率域u-o-v中和u夹角为θ的一直线，u=Rcosθ，v=Rsinθ：
(8.11)
可见：f(x,y)在一条与x轴夹角为θ的直线ρ上的投影的傅立叶变换
等于其二维傅立叶变换在与u轴成θ方向上的切片。图像重建技术：
如投影变换G(R,θ)中对所有的R和θ值都已知，
则图像的二维傅立叶变换F(u,v)可以完全确定，
对F(u,v)进行二维傅立叶反变换，就可以得到f(x,y)。
根据2D-DFT的旋转特性：
f(x,y)在x轴上投影的傅立叶变换，
当投影旋转θ度以后，
则其傅立叶变换也相应地旋转θ度。第2节傅立叶反变换图像重建利用傅立叶