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差分方程及其应用
在经济与管理及其它实际问题中，许多数据都是以等间隔时间周期统计的。例如，银行中的定期存款是按所设定的时间等间隔计息，外贸出口额按月统计，国民收入按年统计，产品的产量按月统计等等。这些量是变量，通常称这类变量为离散型变量。描述离散型变量之间的关系的数学模型成为离散型模型。对取值是离散化的经济变量，差分方程是研究他们之间变化规律的有效方法。
本章介绍差分方程的基本概念、解的基本定理及其解法，与微分方程的基本概念、解的基本定理及其解法非常类似，可对照微分方程的知识学习本章内容。

§1基本概念线性差分方程解的基本定理
一、基本概念
1、函数的差分
对离散型变量，差分是一个重要概念。下面给出差分的定义。
设自变量取离散的等间隔整数值：是的函数，记作。显然，的取值是一个序列。当自变量由改变到时，相应的函值之差称为函数在的一阶差分，记作，即
。
由于函数的函数值是一个序列，按一阶差分的定义，差分就是序列的相邻值之差。当函数的一阶差分为正值时，表明序列是增加的，而且其值越大，表明序列增加得越快；当一阶差分为负值时，表明序列是减少的。
例如：设某公司经营一种商品，第月初的库存量是，第月调进和销出这种商品的数量分别是和，则下月月初，即第月月初的库存量应是
，
若将上式写作
，
则等式两端就是相邻两月库存量的改变量。若记
，
并将理解为库存量是时间的函数，则称上式为库存量函数在时刻（此处以月为单位）的差分。
按一阶差分的定义方式，我们可以定义函数的高阶差分。函数在的一阶差分的差分为函数在的二阶差分，记作，即

。
依次定义函数在的三阶差分为

。
一般地，函数在的阶差分定义为

。
上式表明，函数在的阶差分是该函数的个函数值，的线性组合。
例1设，求，。
解。
。
差分方程的基本概念
先看例题。
设是初始存款（时的存款），年利率，如以复利计息，试确定年末的本利和。
在该问题中，如将时间（以年为单位）看作自变量，则本利和可看作是的函数：。这个函数是要求的未知函数。虽然不能立即写出函数关系，但可以写出相邻两个函数值之间的关系式
，，（1-1）
如写作函数在的差分的形式，则上式为
，，（1-2）
由（1-1）式可算出年末的本利和为
，。（1-3）
在（1-1）式和（1-2）式中，因含有未知函数，所以这是一个函数方程；又由于在方程（1-1）中含有两个未知函数的函数值和，在方程（1-2）中含有未知函数的差分，像这样的函数方程称为差分方程。在方程（1-2）中，仅含未知函数的函数值的一阶差分，在方程（1-1）中，未知函数的下标最大差数是，即，故方程（1-1）或方程（1-2）称为一阶差分方程。
（1-3）式是在之间的函数关系式，就是要求的未知函数，它满足差分方程（1-1）或（1-2），这个函数称为差分方程的解。
由上例题分析，差分方程的基本概念如下：
含有自变量，未知函数以及未知函数差分的函数方程，称为差分方程。
由于差分方程中必须含有未知函数的差分（自变量、未知函数可以不显含），因此差分方程也可称为含有未知函数差分的函数方程。
例如就是一个差分方程，按函数差分定义，任意阶的差分都可以表示为函数在不同点的函数值的线性组合，因此上差分方程又可分别表示为。正因如此，差分方程又可定义为
含有自变量和多个点的未知函数值的函数方程称为差分方程。差分方程中实际所含差分的最高阶数，称为差分方程的阶数。或者说，差分方程中未知函数下标的最大差数，称为差分方程的阶数。上方程为二阶差分方程。
阶差分方程的一般形式可表示为
，（1-4）
或，（1-5）
由于经济学中经常遇到是形如（1-5）式的差分方程，所以以后我们只讨论由（1-5）式的差分方程。
若把一个函数代入差分方程中，使其成为恒等式，则称为差分方程的解。含有任意常数的个数等于差分方程的阶数的解，称为差分方程得通解；给任意常数以确定值的解，称为差分方程得特解。用以确定通解中任意常数的条件称为初始条件。
一阶差分方程的初始条件为一个，一般是（是常数）；二阶差分方程的初始条件为两个，一般是，（，是常数）；依次类推。
二、线性差分方程解的基本定理
现在我们来讨论线性差分方程解的基本定理，将以二阶线性差分方程为例，任意阶线性差分方程都有类似结论。
二阶线性差分方程的一般形式
，（1-6）
其中，和均为的已知函数，且。若，则（1-6）式称为二阶非齐次线性差分方程；若，则（1-6）式称为
，（1-7）
定理1若函数，是二阶齐次线性差分方程（1-7）的解，则
，
也该方程的解，其中、是任意常数。
定理2(齐次线性差分方程解的结构定理)若函数，是二阶齐次线性差分方程（1-7）的线性无关特解，则是该方程的通解，其中、是任意常数。
定理3（非齐次线性差分方程解的结构定理）若是二阶非齐次线性差分方程（1-6）的一个特解，是齐次线性差分