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差分方程及其应用

在经济与管理及其它实际问题中，许多数据都是以等间隔时间周期统计的。例如，银行
中的定期存款是按所设定的时间等间隔计息，外贸出口额按月统计，国民收入按年统计，产
品的产量按月统计等等。这些量是变量，通常称这类变量为离散型变量。描述离散型变量之
间的关系的数学模型成为离散型模型。对取值是离散化的经济变量，差分方程是研究他们之
间变化规律的有效方法。
解的基本定理及其解法，与微分方程的基本概念、解的可对
本章介绍差分方程的基
本概念、照微分方程的知识学习本章内容。

§1基本概念线性差分方程解的基本定理
基本定理及其解法非常类似，

—、基本概念
1、函数的差分对离散型变量，差分是
个重要概念。下面给出差分的定义。
设自变量t取离散的等
间隔整数值：t=0,±1,±2,…，y是t的函数，记作yt=f(t)。
t

显然，y的取值是一个序列。当自变量由t改变到t+1时,相应的函值之差称为函数
t

yt=f(t)在t的一阶差分，记作注yt，即

由于函数yt=f(t)的函数值是一个序列,按一阶差分的定义,差分就是序列的相邻值

之差。当函数yt=f(t)的一阶差分为正值时，表明序列是增加的,而且其值越大，表明序

列增加得越快;当一阶差分为负值时，表明序列是减少的。

例如：设某公司经营一种商品，第t月初的库存量是R(t)，第t月调进和销出这种商

品的数量分别是P(t)和Q(t)，则下月月初，即第t+1月月初的库存量R(t+1)应是

R(t+1)=R(t)+P(t)-Q(t)，

若将上式写作

R(t+1)-R(t)=P(t)-Q(t)，

则等式两端就是相邻两月库存量的改变量。若记

AR(t)=R(t+1)-R(t)),

并将理解为库存量R(t)是时间t的函数，则称上式为库存量函数R(t)在t时刻(此处t

以月为单位)的差分。

按一阶差分的定义方式，我们可以定义函数的高阶差分。函数y^f(t)在t的一阶差
分的差分为函数在t的二阶差分，记作圧y，即

=也(也力)=iyt41—iyt=(yt42—yt41)—(yt41—yt)=yt甩—2yt
申+yt。

依次定义函数yt=f(t)在t的三阶差分为

也3yt=以也2yj=^2y叶—A2yt=Ayt吃—2也yt41+也yt

3y+3yy
=yt后一t42t申一t。

般地，函数yt=f(t)在t的n阶差分定义为

^nyt(A^yt)=A2yt41-&苗

=.1)kgj3yz。
k=0k!

上式表明，函数yt=f(t)在t的n阶差分是该函数的n个函数值，ynn，，y的线性组合。
t

例1设yt=t2+2t-3，求Ay，^2y。
tt

解iyt=yt卅一yt=[(t+1)2+2(t+1)—31—(t2+2t—3)=2t+3。

2
虫yt=也(虫yt)=yt七一2yt41+yt

=[(t+2)2+2(t+2)-3]—2[(t+1)2+2(t+1-3]+t2+2t-3=2。

2、差分方程的基本概念
先看例题。

设A是初始存款(t=0时的存款)，年利率r(0crcl)，如以复利计息，试确定t年

末的本利和A。

在该问题中，如将时间t(t以年为单位)看作自变量，则本利和At可看作是t的函数:

A=f(t)。这个函数是要求的未知函数。虽然不能立即写出函数关系A=f(t)，但可以

写出相邻两个函数值之间的关系式

At卅=A(中rAt，(r=O,1,2,)，(1-1)

如写作函数At=f(t)在t的差分也A=A41—A的形式，则上式为
△A=rAt,(r=0,1,2,…),(1-2)

由（1-1）式可算出t年末的本利和为

A=(1+r)tA,(r=0,1,2,…)。(1-3)
0

在（1-1）式和（1-2）式中，因含有未知函数A=f（t），所以这是一个函数方程；又

由于在方程（1-1）中含有两个未知函数的函数值A和A出，在方程（1-2）中含有未知函

数的差分心At，像这样的函数方程称为差分方程。在方程（1-2）中，仅含未知函数的函数

值A=f（t）的一阶差分，在方程（1-1）中，未知函数的下标最大差数是1，即（t+D-t=1，

故方程（1-1）或方程（1-2）称为一阶差分方程。

（1-3）式是A在t之间的函数关系式，就是要求的未知函数，它满足差分方程（1-1)

或（1-2），这个函数称为差分方程的解。
由上例题分析，差分方程的基本概念如下：
含有自变量，未知函数以及未知函数差分的函数方程，称为差分方程。
由于差分方程中必须含有未知函数的差分（自变量、未知函数可以不显，因此差
含）分方程也可称为含有未知函数差分的函数方程。

例如A2yt-3Ayt-3yt-t=0就是一个差分方程，按函数差分定义，任意阶的