双解题和27题.doc

20.双解题：.正方形ABCD，点F为AB延长线上一点，连接CF,设直线CF与直线BD交于点E,若AE=3CF,则BE:CD的值为__________.
答案：2:3或4:3
27题．在平面直角坐标中，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A、B（点A在B的左边），与y轴交于点C，点B的坐标为（3，0），将直线y=kx沿着y轴向上平移3个单位，恰好经过B、C两点。
求抛物线的解析式；
点P为抛物线上的一个动点，点D为抛物线的顶点，点D关于点（2,1）对称的点为F，连接PF、PD，DF，设点P的横坐标为t，△PDF的面积为s，求s与t的函数关系式（写出自变量t的取值范围）；
(3)在（2）的条件下，动点P在抛物线上运动时，当t为何值时∠PFB=∠BDA，请求出t值及点P坐标

解：（1）∵直线y=kx沿y轴向上平移3个单位长度，∴所得直线解析式为y=kx+3，且经过点B，∴解得k=-1,∴直线解析式为y=-x+3.∴点C的坐标为(0,3)，∴c=3,把点B代入抛物线解析式y=x2+bx+c中得9+8b+c=0∴b=-4,∴抛物线解析式为y=x2-4x+3．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分
（2）如图2过点P作PH⊥DF于点H，当点P在x=2右侧，PH=t-2．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1分
当点P在x=2左侧，PH=2-tDF=3-(-1)=4．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1分
∴s=(t-2)•4•(1/2)=2t-4(t>2)．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1分
或者s=(2-t)•4•(1/2)=4-2t(t<2)．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1分

（3）如图3连接FC，过点F作∠DFH的平分线交x轴于G点
过点B作BI⊥FG于I，过P点PH⊥CF于H。
第一种情况：点P在对称轴x=2的右侧
P(t,t24t+3),FH=t-2,PH=3-(t2-4t+3)=4t-t2
∠BFP=45°=∠GFH∠BFI+∠GFP=∠GFP+∠PFH
∠BFI=∠PFHBI=2/√2=√2=IGFG=3√2FI=3√2-√2=2√2
FI/BI=2√2/√2=2,∠BIF=∠PHF=90°∴△FIB∼△FHP
FI/BI=FH/PH=2,2/1=(t-2)/(4t-t2)
解得t1=（7+√65）/4t2=(7-√65)/4(舍）．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1分
P（(7+√65)/4，25/8-√65/8）．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1分
第二种情况：点P在对称轴的左侧时
∠PFH=∠BFI
tan∠BFI=1/2=tan∠PFHPH=2-t,FH=3-(t2-4t+3)=4t-t2
(2-t)/(4t-t2)=1/2
解得t1=3+√5(舍）t2=3-√5．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1分
点P（3+√5,5+2√5）
综上所述：t=3+√5或t=(7+√65)/4．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1分
点P（3+√5,5+2√5）或P（(7+√65)/4，25/8-√65/8）