用matlab实现线性常系数差分方程的求解.doc

数字信号处理课程设计

题目：试实现线性常系数差分方程的求解
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题目：用Matlab实现线性常系数差分方程求解
设计要求
掌握线性常系数差分方程的求解
熟练掌握Matlab基本操作和各类函数调用
结合Matlab实现线性常系数差分方程的求解
二．设计原理
1．差分与差分方程
与连续时间信号的微分及积分运算相对应，离散时间信号有差分及序列求和运算。设有序列f(k),则称…,f(k+2),f(k+1),…,f(k－1),f(k－2),…为f(k)的移位序列。序列的差分可以分为前向差分和后向差分。一阶前向差分定义为
（3.1—1）
一阶后向差分定义为
（3.1—2）
式中Δ和Δ称为差分算子。由式（3.1—1）和式（3.1—2）可见，前向差分与后向差分的关系为
（3.1—3）
二者仅移位不同，没有原则上的差别，因而它们的性质也相同。此处主要采用后向差分，并简称其为差分。
由查分的定义，若有序列、和常数，则
（3.1—4）
这表明差分运算具有线性性质。
二阶差分可定义为
（3.1—5）
类似的，可定义三阶、四阶、…、n阶差分。一般地，n阶差分
（3.1—6）
式中
（3.1—7）
为二项式系数
序列f(k)的求和运算为
（3.1—8）
差分方程是包含关于变量k的未知序列y(k)及其各阶差分的方程式，它的一般形式可写为
（3.1—9a）
式中差分的最高阶为n阶，称为n阶差分方程。由式（3.1—6）可知，各阶差分均可写为y(k)及其各移位序列的线性组合，故上式常写为
（3.1—9b）
通常所说的差分方程是指式（3.1—9b）形式的方程。
若式（3.1—9b）中，y(k)及其各移位序列均为常数，就称其为常系数差分方程；如果某些系数是变量k的函数，就称其为变系数差分方程。描述LTI离散系统的是常系数线性差分方程。
差分方程是具有递推关系的代数方程，若一直初始条件和激励，利用迭代法渴求的差分方程的数值解。
2.差分方程的经典解
一般而言，如果但输入—单输出的LTI系统的激励f(k)，其全响应为y(k)，那么，描述该系统激励f(k)与响应y(k)之间关系的数学模型式n阶常系数线性差分方程，它可写为
（3.1—10a）
式中、都是常数。上式可缩写为
（3.1—10b）
与微分方程的经典解类似，上述差分方程的解由齐次解和特解两部分组成。齐次解用表示，特解用表示，即
（3.1—11）
a.齐次解
当式（3.1—10)中的f(k)及其各移位项均为零时，齐次方程
（3.1—12）
的解称为齐次解。
首先分析最简单的一阶差分方程。若一阶差分方程的齐次方程为
（3.1—13）
它可改写为

y(k)与y(k－1)之比等于－a表明，序列y(k)是一个公比为－a的等比级数，因此y(k)应有如下形式
（3.1—14）
式中C式常数，有初始条件确定。
对于n阶齐次差分方程，它的齐次解由形式为的序列组合而成，将代入到式（3.1—12），得

由于C≠0，消去C；且λ≠0，以除上式，得
（3.1—15）
上式称为差分方程式（3.1—10）和式（3.1—12）的特征方程，它有n个根，称为差分方程的特征根。显然，形式为的序列都满足式（3.1—12），因而它们是式（3.1—10）方程的齐次解。依特征根取值的不同，差分方程齐次解的形式见表3—1,其中、、、等为待定常数
表3—1不同特征根所对应的齐次解
特征根齐次解单实根重实根一对共轭复根重共轭复跟
b.特解
特解的函数形式与激励的函数形式有关，表3—2列出了集中典型的激励f(k)所对应的特解。选定特解后代入原差分方程，求出其待定系数等，就得出方程的特解。
表3—2不同激励所对应的特解
激励特解所有特征根均不等于1时
当有重等于1时的特征根时当不等于特征根时
当是特征单根时
当是重特征根时或所有特征根均不等于
c.全解
式（3.1—10）的线性差分方程的全解是齐次解与特解之和。如果方程的特征根均为单根，则差分方程的全解为
（3.1—16）
如果特征根为重根，而其余n－r个特征根为单根时，差分方程的全解为
（3.1—17）
式中各系数由初始条件确定。
如果激励信号是在k=0时接入的，差分方程的解适合于k≥0。对于n阶差分方程，用给定的n个初始条件y(0),y(1),…,y(n－1)就可确定全部待定系数。如果差分方程的特解都是单根，则方程的全解为式（3.1—16），将给定的初始条件y(0),y(1),…,y(n－1)分别代入到式（3.1—16），可得
（3.1—18）
由以上方程可求得全部待定系数。
2.1零输入响应
系统的激励为零，仅由系统的初始状态引起的响应，称为零输入响应，用表示。在零输入条件下，式（3.1—10）等号右端为零，化为齐次方程，即
（3.1