第八章 玻色统计和费米统计.doc

第8章玻色统计和费米统计
1.教学内容
（1）热力学量的统计表达式；
（2）弱简并玻色气体和费米气体；
（3）光子气体；
（4）玻色-爱因斯坦凝聚；
（5）金属中的自由电子气体；
（6）简并理想费米气体简例；
2.本章重难点
（1）本章重点是热力学量的统计表达式、光子气体；
（3）本章难点是玻色-爱因斯坦凝聚、金属中的自由电子气体。
3.例题
例题1铁磁体中的自旋波也是一种准粒子,遵从玻色分布,色散关系是.试证明在低温下,这种准粒子的激发所导致的热容与成正比.
证明:在体积V中,ω到ω+dω的频率范围内准粒子的量子态数为
,
推导上式时,用到关系.这里B为常数.由于准粒子数不守恒,玻色分布中的.系统的内能为
,
考虑到态密度在高频时发散,需引入截止频率.但在低温下,在积分中可令.设,则有
,
其中,C为常数.易得.
例题2根据热力学公式及,求光子气体的熵.
解:由(7.4.6),可得光子气的内能
所以.
=,
.
例题3试求绝对零度下电子气体中电子的平均速率.
解:在体积V中,速率范围内,考虑自旋时电子的态密度为
,
绝对零度时,费米函数为,
电子的平均速率
,
4.课外习题及习题指导（见附件）
5．本章测试题及其答案
5．1在极端相对论情形下电子能量与动量的关系为,其中为光速.试求自由电子气体在0K时的费米能量,内能和简并压.
解:在体积V中,到+d的能量范围内电子的量子态数为
.
绝对零度时,费米函数为.
总电子数满足,
可求出费米能量.
电子气的内能.
气体的简并压.
5.2试根普郎克公式求平衡辐射内能密度按波长的分布：并据此证明，使辐射内能密度取极大的波长满足方程：（）这个方程的数值解为。因此，温度增加向短波方向移动
解证：

代入普郎可公式得：

求；只要令即可，（略）
5.3试求绝对零度下电子气体中电子的平均速率。
解证：费米分布

令
则：

从而
将代入得出：

5.4假设自由电子在二维平面上运动，密度为。试求0K时二维电子气体的费米气体的费米能量，内能和简并度。
解证：；
已考虑了自旋，得
根据电子费米分布：
令

（2）由于均匀，故每电子

（3）

于是，

5.5试根据热力学公式及低温下的热容量，求金属中自由电子气体的熵。
解证：根据式（8.5.19）

6．考试要求
理解热力学量的统计表达式和玻色-爱因斯坦凝聚，掌握玻色气体和费米气体的热力学量的统计表达式，
会利用配分函数求解热力学量。本章考试出现的形式为证明题或计算题。