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立体几何中的轨迹与最值问题
徐德涛
在立体几何中，某些点、线、面依一定的规则运动，构成各式各样的轨迹，探求空间轨迹与求平面轨迹类似，应注意几何条件，善于基本轨迹转化。对于较为复杂的轨迹，常常要分段考虑，注意特定情况下的动点的位置，然后对任意情形加以分析判定，也可转化为平面问题。对每一道轨迹命题必须特别注意轨迹的纯粹性与完备性。
立体几何中的最值问题一般是指有关距离的最值、角的最值或面积的最值的问题。其一般方法有：
几何法：通过证明或几何作图，确定图形中取得最值的特殊位置，再计算它的值；
A
B
C
D
E
F
G
P
O
M
N
S
代数方法：分析给定图形中的数量关系，选取适当的自变量及目标函数，确定函数解析式，利用函数的单调性、有界性，以及不等式的均值定理等，求出最值。
一、轨迹问题
如图，在正四棱锥S－ABCD中，E是BC的中点，P点在侧面△SCD内及其边界上运动，并且总是保持PEAC.则动点P的轨迹与△SCD组成的相关图形最有可能的是()
P
P
P
P
S
C
D
S
C
D
S
C
D
S
C
D
A． B． C． D．

解析：如图，分别取CD、SC的中点F、G，连结EF、EG、FG、BD.设AC与BD的交点为O，连结SO，则动点P的轨迹是△SCD的中位线FG。由正四棱锥可得SB⊥AC，EF⊥AC.又∵EG∥SB
∴EG⊥AC
∴AC⊥平面EFG，
∵P∈FG，E∈平面EFG，
∴AC⊥PE.
另解：本题可用排除法快速求解。B中P在D点这个特殊位置，显然不满足PEAC；C中P点所在的轨迹与CD平行，它与CF成EQ\f(π,4)角，显然不满足PEAC；D于中P点所在的轨迹与CD平行，它与CF所成的角为锐角，显然也不满足PEAC。
评析：动点轨迹问题是较为新颖的一种创新命题形式，它重点体现了在解析几何与立体几何的知识交汇处设计图形。不但考查了立体几何点线面之间的位置关系，而且又能巧妙地考查求轨迹的基本方法，是表现最为活跃的一种创新题型。这类立体几何中的相关轨迹问题，如“线线垂直”问题，很在程度上是找与定直线垂直的平面，而平面间的交线往往就是动点轨迹。
(1)如图，在正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，E、F、G、H分别是CC1、C1D1、DD1、DC的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M满足时，有MN∥平面B1BDD1.
(2)正方体ABCD—A1B1C1D1中，P在侧面BCC1B1及其边界上运动，且总保持AP⊥BD1，则动点P的轨迹是线段B1C.
(3)正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是棱A1B1，BC上的动点，且A1E=BF，P为EF的中点，则点P的轨迹是线段MN(M、N分别为前右两面的中心).
(4)已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，在正方体的侧面BCC1B1上到点A距离为EQ\f(2EQ\r(,3),3)的点的集合形成一条曲线，那么这条曲线的形状是，它的长度是.
A
B
C
D
D1
C1
B1
A1
P
N
A
B
C
D
D1
C1
B1
A1
M
G
E
H
F
A
B
C
D
D1
C1
B1
A1
P
A
B
C
D
D1
C1
B1
A1
E
F
P
(1) (2) (3) (4)

若将“在正方体的侧面BCC1B1上到点A距离为EQ\f(2EQ\r(,3),3)的点的集合”改为“在正方体表面上与点A距离为EQ\f(2EQ\r(,3),3)的点的集合”那么这条曲线的形状又是，它的长度又是.
A
B
C
D
D1
C1
B1
A1
P
(1)(04北京)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P是侧面BB1C1C内一动点，若P到直线BC与直线C1D1的距离相等，则动点P的轨迹所在的曲线是(D)
A直线B．圆C．双曲线D．抛物线
l
A
B
C
α
变式：若将“P到直线BC与直线C1D1的距离相等”改为“P到直线BC与直线C1D1的距离之比为1：2(或2：1)”，则动点P的轨迹所在的曲线是椭圆(双曲线).
(2)(06北京)平面α的斜线AB交α于点B，过定点A的动直线l与AB垂直，且交α于点C，则动点C的轨迹是(A)
A.一条直线 B．一个圆C．一个椭圆 D．双曲线的一支
A
B
C
D
D1
C1
B1
A1
M
P
解：设l与l是其中的两条任意的直线，则这两条直线确定一个平面，且斜线AB垂直这个平面，由过平面外一点有且只有一个平面与已知直线垂直可知过定点A与AB垂直所有直线都在这个平面内，故动点C都在这个平面与平面α的交线上，故选A.
(3)已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，M在棱AB上，且AM=EQ\f(1,3)，点P到直线A1D1的距离与