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克里格插值
什么是克里格插值？
距离权重倒数插值和样条法插值被归类为确定性的插值方法，因为它们是直接基于周围已知点的值进行计算或是用指定的数学公式来决定输出表面的平滑度的插值方法。
而第二个插值方法家族包括的是一些地统计学的插值方法（如克里格插值），这些方法基于一定的包括诸如自相关（已知点间的统计关系）之类的统计模型。因此，这些方法不仅有能力生成一个预测表面，而且还可以给出预测结果的精度或确定性的度量。
克里格插值与距离权重倒数插值相似之处在于给已知的样本点赋权重来派生出未知点的预测值。这两种内插方法的通用公式如下，表达为数据的权重总和。

其中，Z(Si)是已测得的第i个位置的值；λi是在第i个位置上测得值的未知的权重；S0是预测的位置；N是已知点（已测得值的点）的数目。
在距离权重倒数插值中，权重λi仅取决于距预测位置的距离。
然而，在克里格插值中，权重不仅建立在已知点和预测点位置间的距离的基础上，而且还要依据已知点的位置和已知点的值的整体的空间分布和排列。应用权重的空间排列，空间自相关必须量化。因此，运用普通克里格插值（OrdinaryKriging），权重λi取决于已知点的拟合模型、距预测位置的距离和预测点周围的已知点间的空间关系。
利用克里格方法进行预测，必须完成以下两个任务：（1）揭示相关性规则。（2）进行预测。要完成这两项任务，克里格插值方法通过以下两个步骤完成：（1）生成变异函数和协方差函数，用于估算单元值间的统计相关（也叫空间自相关），而变异函数和协方差函数也取决于自相关模型（拟合模型）。（2）预测未知点的值。因为前面已经说过的两个明确的任务，因此要用克里格方法对数据进行两次运算：第一次是估算这些数据的空间自相关而第二次是做出预测。

变异估计（Variography）
变异估计就是拟合一个数学模型或空间模型，象已知的结构分析。在已测点结构的空间建模中，首先得出经验半变异函数的曲线图，计算如下：
半变异函数（距离h）＝0.5*均值[(在i位置的值－在j位置的值)2]
用于计算被距离h分隔的每一点对相对应的位置。公式用于计算一点对的差值的平方。下面的示意图显示了一点对中的一点（红色点）的位置和其它所有已测点位置的相应关系。这样步骤延伸了每一个已测点。

某点（红色点）和已测位置所构成的点对示意图

通常，每一个点对间都相距有一定的距离，而且又有许多对点对。快速绘制所有的点对并不容易，替代方式是将这些点对归类在不同的步长分组（lagbins）中来绘制。例如，计算距离大于40米小于50米范围内的所有点对的半变异的均值，经验半变异函数就是这样一个曲线图，其y轴表示平均半变异函数的值而x轴表示距离（或叫步长）（请看下面的图表）。

空间自相关量化了地理学的基本原理；空间分布愈接近的地理事物愈具有相似性。因此，空间上分布愈接近的点对（在半变异函数曲线图上，愈靠近x轴的左边）应该具有更相似的值（在半变异函数曲线图上，愈靠近y轴的下边）。而距离愈远的点对（在半变异函数曲线图上，沿x轴方向向右移动），应该具有更多的不相似性和更高的平方差（在半变异函数曲线图上，沿y轴方向向上移动）。
根据经验半变异图调整模型
接下来的一步就是根据来自经验半变异图的点来调整模型。半变异函数建模是空间描述和空间预测间关键的一步。克里格方法主要用于预测非样本点位置的值。我们已经看过了经验半变异函数如何提供数据集的空间自相关的信息。然而，它不能提供所有可能的方向和距离信息。因此，为确保克里格预测能有正的克里格方差，根据经验半变异函数来调整一个模型（即一个连续函数或曲线图）是非常必要的。理论上讲，这样拟合连续的直线或曲线的方法和回归分析有些相似。
我们选择了一些函数来作为我们的模型——例如，一个球面模型，首先随距离增加而上升，超出一定距离范围后开始变平。该模型与经验半变异函数模型得出的点有一些偏差。一些点在曲线上方，有些点在曲线下方。但是，如果我们将曲线上方的点的偏差值加在一起的值和将曲线下方的点的偏差值加在一起的值相比，将会非常接近。有许多不同的半变异函数模型可供选择。

不同类型的半变异函数模型
空间分析模块提供了以下经验半变异函数可供选择：三角函数（Circular）、球面函数（Spherical）、指数函数（Exponential）、高斯函数（Gaussian）和线性函数（Linear）。所选用的模型影响着未知值的预测，特别是当邻近原点的曲线的形状有明显不同时。曲线愈陡峭，在预测过程中此点的预测将愈受最邻近单元的影响，因此，输出的表面的则较不光滑。而每一个模型都是为拟合不同类型的现象而精心设计的。
下面的曲线图显示了两个普通模型并反映了函数间的差别：
球面模型

这一模型显示了空间自相关性逐渐步降低（等于说，半变异在逐渐升高）的，直到达到一定