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导数压轴题型归类总结

目录

一、HYPERLINK"\l"导数单调性、极值、最值的直接应用""导数单调性、极值、最值的直接应用（1）
二、HYPERLINK"\l"交点与根的分布""交点与根的分布（23）
三、HYPERLINK"\l"不等式证明""不等式证明（31）
（一）作差证明不等式
（二）变形构造函数证明不等式
（三）替换构造不等式证明不等式
四、HYPERLINK\l"四、不等式恒成立求字母范围"不等式恒成立求字母范围（51）
（一）恒成立之最值的直接应用
（二）恒成立之分离常数
（三）恒成立之讨论字母范围
五、HYPERLINK"\l"函数与导数性质的综合运用""函数与导数性质的综合运用（70）
六、HYPERLINK"\l"导数应用题""导数应用题（84）
HYPERLINK"\l"导数结合三角函数""七、导数结合三角函数（85）

书中常用结论
⑴，变形即为，其几何意义为上的的点与原点连线斜率小于1.
⑵
⑶
⑷.

HYPERLINK"\l"目录""一、导数单调性、极值、最值的直接应用
（切线）设函数.
（1）当时，求函数在区间上的最小值；
（2）当时，曲线在点处的切线为，与轴交于点求证：.
解：(1)时，，由，解得.
的变化情况如下表：
01-0+0↘极小值↗0
所以当时，有最小值.
(2)证明：曲线在点处的切线斜率
曲线在点P处的切线方程为.
令，得，∴
∵，∴，即.
又∵，∴
所以.

（2009天津理20，极值比较讨论）
已知函数其中
⑴当时，求曲线处的切线的斜率；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
⑵当时，求函数的单调区间与极值.
解：本小题主要考查导数的几何意义、导数的运算、利用导数研究函数的单调性与极值等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法。
⑴

⑵w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

以下分两种情况讨论：
①＞，则＜.当变化时，的变化情况如下表：
+0—0+↗极大值↘极小值↗
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

②＜，则＞，当变化时，的变化情况如下表：
+0—0+↗极大值↘极小值↗
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

已知函数
⑴设两曲线有公共点，且在公共点处的切线相同，若，试建立关于的函数关系式，并求的最大值；
⑵若在(0,4)上为单调函数，求的取值范围。

（最值，按区间端点讨论）
已知函数f(x)=lnx－.
(1)当a>0时，判断f(x)在定义域上的单调性；
(2)若f(x)在[1,e]上的最小值为，求a的值.
解：(1)由题得f(x)的定义域为(0,＋∞)，且f′(x)＝＋＝.
∵a>0，∴f′(x)>0，故f(x)在(0,＋∞)上是单调递增函数.
(2)由(1)可知：f′(x)＝，
①若a≥－1，则x＋a≥0，即f′(x)≥0在[1,e]上恒成立，此时f(x)在[1,e]上为增函数，
∴f(x)min＝f(1)＝－a＝，∴a＝－(舍去).
②若a≤－e，则x＋a≤0，即f′(x)≤0在[1,e]上恒成立，此时f(x)在[1,e]上为减函数，
∴f(x)min＝f(e)＝1－＝，∴a＝－(舍去).
③若－e<a<－1，令f′(x)＝0，得x＝－a.
当1<x<－a时，f′(x)<0，∴f(x)在(1,－a)上为减函数；
当－a<x<e时，f′(x)>0，∴f(x)在(－a,e)上为增函数，
∴f(x)min＝f(－a)＝ln(－a)＋1＝⇒a＝－.
综上可知：a＝－.

（最值直接应用）已知函数，其中.
（Ⅰ）若是的极值点，求的值；
（Ⅱ）求的单调区间；
（Ⅲ）若在上的最大值是，求的取值范围.
解：（Ⅰ）.
依题意，令，解得.经检验，时，符合题意.
（Ⅱ）解：①当时，.
故的单调增区间是；单调减区间是.
②当时，令，得，或.
当时，与的情况如下：
↘↗↘所以，的单调增区间是；单调减区间是和.
当时，的单调减区间是.
当时，，与的情况如下：
↘↗↘所以，的单调增区间是；单调减区间是和.
③当时，的单调增区间是；单调减区间是.
综上，当时，的增区间是，减区间是；
当时，的增区间是，减区间是和；
当时，的减区间是；
当时，的增区间是；减区间是和.
（Ⅲ）由（Ⅱ）知时，在上单调递增，由，知不合题意.
当时，在的最大值是，
由，知不合题意.
当时，在单调递减，
可得在上的最大值是，符合题意.
所以，在上的最大值是时，的取值范围是.

（2010北京理数18）
已知函数=ln(1+)-+(≥0).
(Ⅰ)当=2时，求曲线=在点(1,(1))处的切线方程；
(Ⅱ)求的单调区间.
解：（I）当时，，
由于，，
所以曲线在点处的切线方程为
即
（II），