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总结求矩阵的逆矩阵的方法

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摘要：矩阵是线性代数的主要内容,很多实际问题用矩阵的思想去解既简单又快捷.逆矩阵又是矩阵理论的很重要的内容,逆矩阵的求法自然也就成为线性代数
研究的主要内容之一.本文将给出几种求逆矩阵的方法.

关键词：矩阵逆矩阵方法

Methodoffindinginversematrix

Abstract:
Matrixinlinearalgebraisthemaincontent,manypricticalproblemswiththematrixtheoryissimpleandfast.Theinversematrixandmatrixtheorytheimportantcontent,thesolutionofinversematrixnaturehasbecomeoneofthemainresearchcontentsoflinearalgebra.Thepaperwillgivesomemethodoffindinginversematrix.

Keywords:
Matrixinversematrixmethod

正文：
1.引言:矩阵是线性代数的主要内容,很多实际问题用矩阵的思想去解既简单又快捷.逆矩阵又是矩阵理论的很重要的内容,逆矩阵的求法自然也就成为线性代
数研究的主要内容之一.本文将给出几种求逆矩阵的方法.
求矩阵的逆矩阵的方法总结：
2.1
矩阵的基本概念
矩阵，是由个数组成的一个行列的矩形表格，通常用大写字母表示，组成矩阵的每一个数，均称为矩阵的元素，通常用小写字母其元素表示，其中下标都是正整数，他们表示该元素在矩阵中的位置。比如，或表示一个矩阵，下标表示元素位于该矩阵的第行、第列。元素全为零的矩阵称为零矩阵。
特别地，一个矩阵，也称为一个维列向量；而一个矩阵，也称为一个维行向量。
当一个矩阵的行数与烈数相等时，该矩阵称为一个阶方阵。对于方阵，从左上角到右下角的连线，称为主对角线；而从左下角到右上角的连线称为付对角线。若一个阶方阵的主对角线上的元素都是，而其余元素都是零，则称为单位矩阵，记为，即：。如一个阶方阵的主对角线上（下）方的元素都是零，则称为下（上）三角矩阵，例如，是一个阶下三角矩阵，而则是一个阶上三角矩阵。今后我们用表示数域上的矩阵构成的集合，用表示数域上的阶方阵构成的集合。
2.2求逆矩阵的方法：
1.利用定义求逆矩阵
定义:设A、B都是n阶方阵,如果存在n阶方阵B使得AB=BA=E,则称A为可逆矩阵,而称B为A的逆矩阵.下面举例说明这种方法的应用.
例1求证:如果方阵A满足Ak=0,那么EA是可逆矩阵,且
（E-A）=E+A+A+…+A
证明因为E与A可以交换,所以
(E-A)(E+A+A+…+A)=E-A,
因A=0,于是得
(E-A)（E+A+A+…+A）=E，
同理可得（E+A+A+…+A）(E-A)=E，
因此E-A是可逆矩阵,且
(E-A)=E+A+A+…+A.
同理可以证明(E+A)也可逆,且
(E+A)=E-A+A+…+（-1）A.
由此可知,只要满足A=0，就可以利用此题求出一类矩阵EA的逆矩阵.
例2设A=,求E-A的逆矩阵.
分析由于A中有许多元素为零,考虑A是否为零矩阵,若为零矩阵,则可以采用例2的方法求E-A的逆矩阵.
解容易验证
A=，A=，A=0
而(E-A)(E+A+A+A)=E,所以
(E-A)=E+A+A+A=.
2.初等变换法
求元素为具体数字的矩阵的逆矩阵，常用初等变换法.如果A可逆，则A可通过初等变换，化为单位矩阵I，即存在初等矩阵使
（1）A=I，用A右乘上式两端，得：
（2）I=A
比较（1）（2）两式，可以看到当A通过初等变换化为单位矩阵的同时，对单位矩阵I作同样的初等变换，就化为A的逆矩阵A.
用矩阵表示（AI）为（IA），就是求逆矩阵的初等行变换法，它是实际应用中比较简单的一种方法.需要注意的是，在作初等变换时只允许作行初等变换.同样，只用列初等变换也可以求逆矩阵.
例1求矩阵A的逆矩阵.已知A=.
解[AI]

故A=.
在事先不知道n阶矩阵是否可逆的情况下，也可以直接用此方法.如果在初等变换过程中发现左边的矩阵有一行元素全为0，则意味着A不可逆，因为此时表明=0，则A不存在.
例2求A=.
解[AE]=
.
由于左端矩阵中有一行元素全为0，于是它不可逆，因此A不可逆.
3.伴随阵法
定理n阶矩阵A=[a]为可逆的充分必要条件是A非奇异.且
A=
其中A是中元素a的代数余子式.
矩阵称为矩阵A的伴随矩阵，记作A，于是有A=A.

证明必要性：设A可逆，由AA=I，有=，则=，所以0，即A为非奇异.
充分性：设A为非奇异，存在矩