逆矩阵的求法.doc

1、逆矩阵的概念
定义：设A是数域P上的一个n阶方阵，如果存在P上的n阶方阵B，使得AB=BA=E，则称A是可逆的，又称B为A的逆矩阵.当矩阵A可逆时，逆矩阵由A惟一确定，记为A-1.
2、矩阵可逆的条件
（1）n阶方阵A可逆的充分必要条件是|A|≠0（也即r（A）=n）；
（2）n阶方阵A可逆的充分必要条件是A可以通过初等变换（特别是只通过初等行（列）变换）化为n阶单位矩阵；
（3）n阶方阵A可逆的充分必要条件是A可以写成一些初等矩阵的乘积；
（4）n阶方阵A可逆的充分必要条件是A的n个特征值不为零；
（5）对于n阶方阵A，若存在n阶方阵B使得AB=E（或BA=E），则A可逆，且A-1=B.
3、逆矩阵的性质
设A，B是n阶可逆矩阵，则
（1）（A-1）-1=A；
（2）若k≠0，则kA可逆，且（kA）-1=EQEQ\F(1,k)A-1；
（3）AB可逆，且（AB）-1=B-1A-1；
（4）AT可逆，且（AT）-1=（A-1）T；
（5）Ak可逆，且（Ak）-1=（A-1）k；
（6）|A-1|=|A|-1；
（7）如果A是m×n矩阵，P是m阶可逆矩阵，Q是n阶可逆矩阵，则r（A）=r（PA）=r（AQ）=r（PAQ）.
4、求矩阵逆的方法
方法1定义法：设A是数域P上的一个n阶方阵，如果存在P上的n阶方阵B，使得AB=BA=E，则称A是可逆的，又称B为A的逆矩阵.当矩阵A可逆时，逆矩阵由A惟一确定，记为A-1.
方法2伴随矩阵法：A-1=EQEQ\F(1,|A|)A*.
定理n阶矩阵A=aij为可逆的充分必要条件是A非奇异.且
其中Aij是|A|中元素aij的代数余子式.矩阵称为矩阵A的伴随矩阵，
记作A*，于是有A-1=EQEQ\F(1,|A|)A*.
注①对于阶数较低（一般不超过3阶）或元素的代数余子式易于计算的矩阵可用此法求其逆矩阵.注意A*=（Aji）n×n元素的位置及符号.特别对于2阶方阵，其伴随矩阵,即伴随矩阵具有“主对角元素互换，次对角元素变号”的规律.
②对于分块矩阵不能按上述规律求伴随矩阵.
方法3初等变换法：
注①对于阶数较高（n≥3）的矩阵，采用初等行变换法求逆矩阵一般比用伴随矩阵法简便.在用上述方法求逆矩阵时，只允许施行初等行变换.
②也可以利用求得A的逆矩阵.
③当矩阵A可逆时，可利用
求得A-1B和CA-1.这一方法的优点是不需求出A的逆矩阵和进行矩阵乘法，仅通过初等变换
即求出了A-1B或CA-1.

方法4用分块矩阵求逆矩阵：设A、B分别为P、Q阶可逆矩阵，则：

方法5解方程组求逆矩阵：根据可逆的上(下)三角矩阵的逆仍是上(下)三角矩阵,且上(下)三角矩阵逆矩阵主对角元分别为上(下)三角矩阵对应的主对角元的倒数,可设出逆矩阵的待求元素;又由A-1A=E两端对应元素相等,依次可得只含有一个待求元素的方程,因而待求元素极易求得,此法常用元素待求上(下)三角矩阵的逆矩阵.
方法6用克莱姆法则求解：若线性方程组的系数行列式，则此方程组有唯一的一组解.这里是将中的第i列换成得到的行列式.
定理1若ε1=(1,0,0,⋯,0),ε2=(0,1,0,⋯,0),⋯,εn=(0,0,⋯,1)是Fn(Fn表示数域F上的n元行空间)的标准基,则Fn中任一向量α=(a1,a2,⋯,an)都可唯一地表示为:α=a1ε1+a2ε2+⋯+anεn的形式,这里ai∈F(i=1,2,⋯,n).
定理2两个矩阵A与B乘积AB的第i行等于A的第i行右乘以B.
下面给出求可逆矩阵的逆矩阵的方法:令n阶可逆矩阵A=(aij),A的行向量分别为α1,α2,⋯,αn,其中αi=(αi1,αi2,⋯,αin),(i=1,2,⋯,n),由定理1得:αi=Σaijεj(i=1,2,⋯,n).解以ε1,ε2,⋯,εn为未知量的方程组,由于系数行列式D=|A|≠0(因为A可逆),所以,由克莱姆法则可得唯一解:εj=Dj/D=bj1α1+bj2α2+⋯+bjnαn(j=1,2,⋯,n).其中Dj是把行列式D的第j列的元素换以方程组的常数项α1,α2,⋯,αn而得到的n阶行列式.由定理2可得:BA=I(I为单位矩阵),从而有A-1=B.其中B=(bij).下面举例说明这种方法.
方法7用行列式：定理：若n阶矩阵A=(Aij)为满秩矩阵,则A可逆，且

为的初始单位向量组，即

方法8恒等变形法求逆矩阵：有些计算命题表面上与求逆矩阵无关,但实质上只有求出矩
阵的逆矩阵才能算出来,而求逆矩阵须对所给的矩阵等式恒等变
形,且常变形为两矩阵的乘积等于单位矩阵的等式.

方法9用Hamilton-Caley定理求逆矩阵：
Hamilton-Caley定理:设A是数域P上的n阶矩阵为A的特征多项式，则：
于是