有限单元法 第2章 杆系结构的有限元分析.ppt

第2章杆系结构的有限元分析2.1概述第一步，对结构物进行离散化，划分为有限个单元。
第二步，对各结点和单元进行编码。
第三步，建立整体坐标系和各单元的局部坐标系。
第四步，对已知参数进行准备和整理。
第五步，对结点位移进行编码，注意前处理法与后处理法的区别。
第六步，进行单元分析，形成单元刚度矩阵。
第七步，进行整体分析，形成整体刚度矩阵。
第八步，引入边界条件。边界条件的引入可以使问题具有解的唯一性。
第九步，求解方程组，计算结构的整体结点位移。
第十步，求单元内力，对计算成果进行整理、分析，用表格、图示出所需的位移及应力。图2.1弯曲杆件系统2.2局部坐标系中的杆单元分析①单元位移模式。用结点位移表示单元上任意截面的位移。对拉压杆单元，可以取其位移为一次多项式，即：

由位移的边界条件：
可得系数、为：

这样，任意截面的位移为：

用矩阵表示为：

其中②进行应力、应变分析。根据材料力学中应变的定义，有：

这里

为应变矩阵。由虎克定律，其应力为：
③求单元刚度矩阵。这里考虑利用虚位移原理求单元刚度矩阵，设杆端i、j分别产生虚位移、，则由此引起的杆轴任意截面的虚位移为：

对应的虚应变为：

根据虚位移原理虚功方程，有：

将上式整理得：式中：为局部坐标系下单元结点荷载矩阵。设：

则可以得到拉压杆单元的单元刚度方程为：

这里为局部坐标系下的单元刚度矩阵，为局部坐标系下等效结点荷载矩阵，但值得指出的是：分布荷载中可以包含集中荷载。根据定义，可以进一步求得单元刚度矩阵为：
2.2.2扭转杆单元式中：为局部坐标系下扭转杆单元的结点位移矩阵。由材料力学可知，截面扭矩为：

式中：

我们利用极小势能原理来进行单元分析，杆单元的势能用泛函表示为：
这里为局部坐标系下扭转杆单元的结点荷载矩阵。由极小势能原理，取上述泛函的变分，可得：

或者写为：

设：

可得扭转杆单元的单元刚度方程为：

可以看到，其形式与拉压杆单元的单元刚度方程完全一致。同样，由上式可以进一步求得其局部坐标系下得单元刚度矩阵为：
2.2.3只计弯曲的杆单元
取挠曲线方程为的三次多项式，即单元上任意一点的挠度为：

根据单元的位移边界条件：
时：，
时：，将系数a、b、c、d代入式，并将挠曲线方程用矩阵形式表示为：

式中为形函数矩阵，其中：

为平面弯曲单元的形函数。根据式（2-19）确定的单元位移场，可得单元上某一点得曲率为：

截面的弯矩为：

这里：

为平面弯曲杆单元的应变矩阵。
根据虚位移原理。有：

则平面弯曲杆单元的单元刚度方程为：

其中的单元刚度矩阵可由式（2-23）求得为：
2.2.4平面一般杆单元
其次，杆端弯矩、和杆端剪力、只与杆端的转角位移、和杆端的横向位移、有关系，根据只计弯曲杆单元的单元刚度方程（注意，由于不考虑单元上的荷载作用，故方程式中的等效结点荷载等于零）可得：这样，上述表达式合并在一起，写成矩阵形式如下：2.2.5空间杆单元空间刚架有6个位移分量和6个结点力分量，设局部坐标系下它们分别为：2.2.6单元刚度矩阵的性质③一般单元的单元刚度矩阵是奇异矩阵，它的元素组成的行列式等于零，即。根据奇异矩阵的性质，没有逆矩阵。也就是说，如果给定杆端位移，根据（2-29）或（2-31）式可以求出杆端力的惟一解，但反过来，如果已知杆端力，则不能根据来确定杆端位移的惟一解。因为即使在杆端力已知的情况下，由于单元两端无任何约束，因此除出杆端自身变形外，还可以发生任意的刚体位移。举例来说，如果物体处于静止状态，我们可以说其处于平衡状态，但反过来，如果物体处于平衡状态，则我们不能说其一定处于静止。④单元刚度矩阵具有分块的性质，即可以用子矩阵表示。用虚线把分为四个子矩阵，把和各分为两个子矩阵，因此，又可以写为：

这里：
或
或
或
或
用子矩阵形式表示单元刚度矩阵和单元刚度方程，可以使其表达的物理意义更加明显。在单元刚度矩阵中，其任意子矩阵表示杆端力和杆端位移之间的关系。2.3杆系结构的整体分析
这里表示由轴到轴的角，角度转动的正负由右手定则确定，本书中以顺时针方向转动为正。在两个坐标系中，力偶分量保持不变，即有：

同理，对于端的杆端力，有：
将这些式子用矩阵形式可表示为：从坐标转换矩阵的表达式可以看出，为正交矩阵，其逆矩阵等于其转置矩阵，即有：

并且有：

式中为单位矩阵。
同样的推导，可以得到两种坐标系下的杆端位移之间的转换关系为：

这里和分别为局部坐标系和整体坐标系下的杆端位移矩阵，为前面介绍的转换矩阵。因此可得：

上式两边同乘以，可以得到：

设

可得：

上式即为整体坐标系下的单元刚度方程。2.3.2空间问题坐标转换矩阵设轴与x、y、z轴的方向余弦分别为：
，，
则将杆端力、、向轴