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分析极限和连续函数的性质

随着数学的不断发展，极限和连续函数成为了数学研究中不可
或缺的重要部分。极限和连续函数有何特性？又分别有哪些性质？

接下来将对这些问题进行深入探讨。

一、极限

1.1极限的定义

极限是一种数学概念，表示一个函数在某一点上无限趋近于某

个确定的值。如果函数f(x)在x=a附近的值越来越接近L，那么就
可以说f(x)的极限是L，并用符号limf(x)=L表示。它的形式化定

义为：

当对于任意给定的正数ε，总存在另一个正数δ，使得当0＜|x-

a|＜δ时，就可得到|f(x)-L|＜ε。

1.2极限的性质

（1）极限的唯一性

如果函数f(x)在x=a处有极限，那么这个极限是唯一的。

（2）局部有界定理

如果函数f(x)在x=a处有极限，那么它在a的一个邻域中是有

界的。

（3）局部保号性定理

如果函数f(x)在x=a处有极限L，则当x充分靠近a时，f(x)与

L的符号相同。

（4）夹逼准则

如果函数f(x)、g(x)、h(x)在x=a处有极限，并且当x在a的某
个邻域内时，有f(x)≤g(x)≤h(x)，那么f(x)、g(x)、h(x)的极限都

存在，且limf(x)=limg(x)=limh(x)。

二、连续函数

2.1连续函数的定义

连续函数是指函数在定义域上无断点、无跳跃，并且图像可以

画成不中断的线段。连续函数的定义如下：

设函数f(x)在点a的某一领域内有定义，则当x趋近于a时，
f(x)的函数值也趋近于f(a)。如果函数f(x)在点a处连续，则称函

数f(x)在点a处连续。

2.2连续函数的必要条件

函数f(x)在点a处连续的必要条件是：

（1）在点a的左右两侧，左极限等于右极限。

（2）在点a的左右两侧，左右极限都存在且相等。

（3）在点a处，函数f(x)的值等于f(a)。

2.3连续函数的充分条件

函数f(x)在点a处连续的充分条件是：

（1）在点a的邻域内，f(x)存在极限。

（2）在点a的邻域内，f(x)无间断性。

（3）在点a的邻域内，f(x)有界。

（4）在点a的邻域内，左右两侧极限真正存在且相等。

综上所述，极限和连续函数是数学研究中重要的概念，具有丰
富的性质和特点。对于学习者而言，正确理解和掌握这些概念对

于提升数学水平和学术素养极为重要。