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立体角计算公式
摘要：本文应用数学工具，推导出灯具在两个相互垂直方向上的发光角同立体角之间的关系。
关键词：立体角，发光角。
0引言
光强度是照明工程中的一个重要术语，其定义是“光源在给定方向的单位立体角中发射的光通量”，一般以I表示。若在某微小立体角dΩ内的光通量为dΦ（ψ，θ），则该方向上的光强为：
I（ψ，θ）=dΦ（ψ，θ）/dΩ。
式中，dΩ的单位为sr（球面度），光强的单位为cd（坎德拉，烛光）。
1cd=1lm/sr。
但关于立体角的计算方法，照明教材及各类文献中却没有述及。这给从事照明工程的专业技术人员带来很大的困惑。

1立体角的定义
将弧度表示平面角度大小的定义（弧长除以半径）推广到三维空间中，定义“立体角”为：球面面积与半径平方的比值。即：Ω=

图1平面角（单位：弧度rad）图2立体角（单位：球面度sr）

2立体角的计算
设灯具在两个相互垂直方向上的发光角为2α和2β，求其所对应的立体角的大小。设0<2α<π，0<2β<π
不失一般性，设球体半径为单位长度1，坐标原点在球心，坐标轴方向如图。根据定义，只须求出两角所夹球面的面积，即是立体角的大小。由于对称性，只需求出第一卦限内的面积再乘以4即可。
图3计算示意图
曲面面积计算公式为：
A=dxdy（1）
上半球球面方程为：
Z=（2）
由=（3）
（4）
得（5）
代入（1）式得：
A=(6)
利用极坐标，得：
A=(7)
易知，积分区域在xy平面上的投影是由两条椭圆曲线围成，方程分别为：
+y2=1(8)
x2+=1(9)
交点坐标（,)
φ1=arctg(10)
φ2=arctg(11)
将x=rcosΦ，y=rsinΦ带入（8）、（9）式，得极坐标表示的边界方程为：
(12)
(13)

图4xy面投影

根据对称性，有：
A=4(A1+A2)(14)
A1=
A2=
于是，
A1=
=）dΦ
=Φ1-dΦ
=Φ1-
设t=sinΦ，则cosΦdΦ=dt
A1=Φ1-
=Φ1-
=Φ1-arcsin(cos·t)
=Φ1-arcsin(cossinΦ1)(15)
同理，
A2=Φ2-arcsin(cosβsinΦ2)(16)
带入（14）式,得出最终结果：
A=4(arctg-arcsin(cossin(arctg))
+arctg-arcsin(cosβsin(arctg)))(17)
特别地，当=β时，Φ1=Φ2=π/4，
A1=A2=π/4-arcsin(cos/)

3数值结果

2a
2b
2β 2α15°30°45°60°75°90°105°120°135°150°165°180°15°0.06830°0.1350.26845°0.2000.3970.588对60°0.2610.5190.7701.01175°0.3180.6330.9401.2371.51990°0.3700.7361.0961.4451.7802.094称105°0.4150.8271.2341.6322.0162.3822.723120°0.4530.9041.3511.7912.2122.6363.0303.392135°0.4840.9661.4451.9212.3892.8483.2913.7104.091150°0.5061.0111.5152.0162.5143.0083.4923.9644.4114.811165°0.5191.0381.5572.0752.5923.1083.6214.1304.6325.1155.544180°0.5241.0471.5712.0942.6183.1463.6654.1894.7125.2365.7606.283

参考文献
⑴周太明等，电气照明设计，复旦大学出版社，2001，11
⑵同济大学数学教研室，高等数学，高等教育出版社，1998，12
⑶陈大华等译，光源与照明（第四版），复旦大学出版社，2000，1

注：本文发表于《中国照明学会（2005）学术年会论文集》，2005.9·上海