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应用数学方法求物理极值问题
宁夏中卫市第一中学闫保臻
在物理和数学的关系中，很多时侯都把物理比喻成皇帝，数学比喻成皇后，不能分开。一个物理学家他首先是一个数学家。数学是科学的语言，它能简洁、准确地表达物理概念和推导证明物理规律，是物理学的重要工具，物理是数学的灵魂。运用数学方法解决物理问题的能力是新课程改革高中物理教学的目标之一，同时也是新高考能力考查目标之一，数学掌握的好可以帮助我们更加简捷的解决物理问题。下面，笔者就运用数学方法在物理极值求解中的常用方法总结如下。
一、用一元二次方程判别式求解极值一元二次方程，当它的判别式B2-4AC≥0时，此方程有实数解。若我们在解物理习题时能选择适当的物理量作为未知量。使其成为一个一元二次方程，巧妙地利用判别式可解决极值问题。
例题1：一水枪需将水射到离喷口的水平距离为3m的墙外，从喷口算起，墙高4m，若空气阻力不计，取。求：所需的最小初速度及对应的喷射仰角。
分析：本题的解题思路是根据题目描述的物理情景，写出喷射速度的的数学表达式，再用数学工具进行求解。
解答：设喷射速度为v，喷射仰角为，根据题意得：
在水平方向：3=vcos·t①
竖直方向：4=vsin·t－②
联立①、②消去时间t，可以得到喷射出的水的轨迹方程为
4=3tan－，该式中含有两个未知量和v,现以tan为变量，以v参量，化简该式得：－③
要使③式有解，必须要使其判别式大于等于零，即：b2-4ac，在上述方程中，a=1、b=、c=，所以b2－4ac=（）2－4×1×（）④
该不等式只含有一个未知量v，解④式可以得到v的有效解为：m/s，所以喷射的最小速度为：m/s。将m/s代入③得tan=3,所以最小的喷射速度对应的仰角为：=。
二、利用均值不等式求解极值
任意两正数a、b，若a+b=恒量，则其乘积a·b，当且仅当a=b时为极大；若a·b=恒量，则其和a+b，当且仅当a=b时为极小。
例2：如图1所示，侧面开有小孔S的量筒中注满水，高为h的量筒放在高为H的平台上，问小孔应开在何处，从孔中喷出的水可以达到最远？最大射程为多大？
解：设小孔S的位置离地面的高度为y，水的水平射程为x，并设某时刻质量为m的水由小孔喷出，做初速度为v0的平抛运动，经过时间t落地，根据运动学知识可得：
①②喷出水的动能相当于它从水面处下落高度重力所做的功，由机械能守恒定律：③
联立①、②、③可得：由数学中的均质不等式可得，当即：时，水平射程有最大值，
所以当小孔S开在高为处时，喷出水的射程最大，最大射程为
三、利用三角函数求极值
如果所求物理量表达式中含有三角函数，可利用三角函数的极值求解。若所求物理量表达式可化为“y=Asin”的形式，则y=Asin2α，在=45º时，y有极值。
对于复杂的三角函数，例如y=asinθ+bcosθ，要求极值时先需要把不同名的三角函数sinθ和cosθ，变成同名的三角函数，比如sin(θ+ф)。这个工作叫做“化一”。首先应作辅助角如图2所示。
考虑asinθ+bcosθ＝()
＝(cosфsinθ+sinфcosθ)＝sin(θ+ф)其最大值为。
例3：如图3所示，质量为10kg的木箱，置于水平地面上，它与地面间的滑动摩擦因数，受到一个与水平方向成θ角斜向上方的拉力F，为了使木箱作匀速直线运动，拉力F最小值是多少？
分析与解对木箱受力分析如图3，由平衡条件得
，，而
由以上各式联立得
，其中、
将代入上式得所以，当θ=300时，有最大值，此时F有最小值
四、利用图像法求解极值
通过分析物理过程遵循的物理规律，找到变量之间的函数关系，做出其图像，由图像可求得极值。
例4：从车站开出的汽车作匀加速运动，它开出一段时间后，突然发现有乘客未上车，于是立即制动做匀减速运动，结果汽车从开动到停下来共用20秒，前进了50米。求这过程中汽车达到的最大速度。
解：设最大速度为vmax,即加速阶段的末速度为vmax：
画出其速度时间图像如图4所示，图线与t轴围成的面积等于位移。即：
即：
五、利用配方法求极值
根据题目已知条件和具体要求，将要求解的量用一定的函数表达式表示出来，再观察表达式的结构，巧妙地进行配方，然后就可以求出变量的最大值或最小值。
例5：如图5所示的电路中，R0为定值电阻，可变电阻的总阻值为R，电流表内阻不计，电压U固定不变，分析并计算：滑片P移至何处时电流表示数最大，最大值是多少？滑片P移至何处时电流表示数最小，最小值是多少？
解：设回路总电流为，通过电流表的电流为，，则，根据并联电路的特点，所以①
整理①式②
对②式进行配方可得：③
当时，③式的分母有最大值，此时即当滑片P滑到R的正中间时，电流表的读数有最小值；当或时，③式有最大值，既当滑片P滑到R的最左端或最右端时，电