暑期数学建模.doc

模糊数学方法在数学建模中的应用
于鹏
陕西科技大学理学院

模糊数学是研究和处理模糊现象的一种数学工具.在生产实际中有着广泛的应用基础，比如家电领域的模糊洗衣机、模糊洗碗机、模糊电视机等，航空军事领域的飞行器模拟实验，导弹追踪等技术。还有环境保护当中江河湖泊的污染监测等都与模糊数学密不可分。模糊数学方法做为处理模糊现象的一种工具在数学建模当中也是有着广泛的应用。暑期培训，我们将介绍一些应用模糊数学处理问题的基本方法，内容包括模糊聚类分析，模糊模型识别，模糊综合评价，及模糊线性规划。

第一部分模糊数学的基本概念
模糊集合的定义
定义1：设U是论域，称映射
A(x)：U→[0,1]
确定了一个U上的模糊子集A，映射A(x)称为A的隶属函数，它表示x对A的隶属程度.
当映射A(x)只取0或1时，模糊子集A就是经典子集，而A(x)就是它的特征函数.
设论域是有限论域，A是上的模糊集。则A的表示方法有：
扎德表示法：
序对表示法：
向量表示法：
一般设表示模糊向量。
例1设论域U={}(单位：cm)表示人的身高，那么U上的一个模糊集“高个子”(A)的隶属函数A(x)可定义为

定义2：设U是论域，A是U上的模糊集合

称为A的截集。
定义3：设是两个论域，称映射

为从到的模糊关系。特别地，当X=Y时，称之为X上各元素之间的模糊关系.
命题1：设，是从到的模糊关系，则唯一确定一个的模糊矩阵，其中。
定义4：设是X到Y的关系,是Y到Z的关系,则与的合成是X到Z上的一个关系.
(x,z)=∨{∧|y∈Y}
当论域为有限时，模糊关系的合成化为模糊矩阵的合成.
定义5：模糊关系R是X上的模糊关系，且满足：
(1)自反性：R(x,x)=1；
(2)对称性：R(x,y)=R(y,x)；
(3)传递性：R,
则称模糊关系R是X上的一个模糊等价关系.
命题2：R是X上的模糊等价关系当且仅当是X上的经典等价关系。

第二部分模糊聚类分析基础
模糊聚类分析就是通过构造模糊等价关系，通过模糊等价关系的截矩阵实现聚类分析。其基本步骤如下：
第一步，数据标准化
设论域为被分类对象,每个对象又由m个指标表示其性状:
i=1,2,…,n
于是,得到原始数据矩阵为

数据标准化的基本方法有：
(1)平移•标准差变换

其中=
(2)平移•极差变换

第二步，构建相似矩阵
(1)夹角余弦法

(2)相关系数法

(3)绝对值减数法

第三步、由相似矩阵利用平方法构造模糊等价矩阵。
设是一个阶模糊矩阵，利用平方法求等价矩阵方法如下：
，其中
第四步、聚类分析
亚洲玉米螟测报的数学模型
市场的划分
DNA序列的划分

第三部分模糊模式识别基础
模糊模式识别的分类：
(1)具体元素对模糊模型的识别问题。
给定了标准模型库问对象x属于上述模型库的哪一类?
(2)模糊元素对模糊模型的识别问题。
给定了标准模型库问对象x属于上述模型库的哪一类?其中对象X本身就是模糊的。
处理两类问题的基本原则
(1)最大隶属度原则
最大隶属原则Ⅰ设论域上有m个模糊子集(即m个模型),构成了一个标准模型库,若对任一∈X,有k∈{1,2,…,m},使得

则认为相对隶属于.
最大隶属原则Ⅱ设论域X上有一个标准模A,待识别的对象有n个：如果有某个满足
A()=∨{}
则应优先录取.
(2)择近原则
设在论域上有m个模糊子集构成了一个标准模型库,B是待识别的模型.若有k∈{1,2,…,m},使得
(，B)=∨{(,B)|1≤i≤m},
则称B与最贴近,或者说把B归于类.这就是择近原则.
其中(，B)表示与B的格贴近程度，一般有如下贴近度
(1)海明贴近度
若，则

(2)欧几里得(距离)近度
若，则

(3)格贴近度
若，令

例（蠓的模型识别）两种蠓Af和Apf已由生物学家克罗那和威尔斯于1981年根据它们的触角长和翼长加以区分，下图给出了9只Af和6只Apf蠓的触角长和翼长数据,其中“●”表示Apf,“○”表示Af.根据触角长和翼长来识别一个标本是Af还是Apf是重要的.
①给定一只Af族或Apf族的蠓,如何正确地区分它属于哪一族？
②将你的方法用于触角长和翼长分别为(1.24,1.80),(1.28,1.84),(1.40,2.04)三个标本.
eq\o\ac(○,3)假设Af是传粉益虫，Apf是某种疾病载体，问是否需要修改分类方法？为什么？

第一步建立模糊相似矩阵（绝对值减数法）

第二步聚类分析

第三步根据聚类分析图得到分类的中心向量。例如当
时可分为5类
{1}，{2，3，4，5，6，7，8}，{9}，{10}，{11，12，13，14，15}
得到中心向量
（1.240，1.720），（1.417