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特殊四边形中的数学思想

特殊四边形中隐含着许多重要的数学思想，需要我们去挖掘和运用，归纳起来主要有以下几种．
一、整体思想
整体思想就是根据问题的整体结构特征，把一组数或一个代数式或几个图形视为一个整体，去观察、分析、探究问题的一种方法，从而使问题得以简捷巧妙的解决．
例1如图1，菱形ABCD的对角线的长分别是2和5，P是对角线AC上任一点（点P不与点A、C重合），且PE∥BC交AB于点E，PF∥CD交AD于点F，则阴影部分的面积是______．
析解：由条件知PE∥BC，PF∥CD，可得PE∥AF，PF∥AE，所以四边形AEPF为平行四边形，这样容易得到S△POF＝S△AOE，
所以S阴影＝S△ABC＝S菱形ABCD
．
二、方程思想
对于所要求的数学问题，通过列方程（组）来解决的一种解题思想，就是方程思想，特别是在一些几何问题中，利用设未知数，列方程（组）求解可使问题的解决变得简捷方便．
例2如图2，四边形ABCD是平行四边形，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，AE＝4cm，AF＝5cm，四边形ABCD的周长为36cm．求AB、BC的长．
析解：因为平行四边形的周长已知，所以可得关于平行四边形两邻边的一个方程；又因为两邻边上的高已知，由平行四边形的面积公式，又可得另一个方程，从而组成方程组，使问题得解．
于是设AB＝xcm，BC＝ycm．
因为，
2（AB＋BC）＝36，
且CD＝AB＝x，AD=BC=y，
所以．解得．
即AB＝8cm，BC＝10cm．
三、数形结合思想
数形结合思想，就是把数、式与图形结合起来考虑，用几何图形直观地反映和描述数量关系．用代数方法来分析几何图形中蕴含的数量关系，从而使问题巧妙快速解决．
例3如图3，用8块相同的长方形地砖拼成一个矩形，则每个长方形地砖的面积是（）
A．200cm2 B．300cm2
C．600cm2 D．2400cm2
析解：根据图形中蕴含的数量关系：即每块长方形地砖的长与宽的和是40cm；由矩形的对边相等可知2个长方形的长等于一个长方形的长与3个宽的和，因此可列出表示长与宽关系的二元一次方程组，进而求出每个长方形的长、宽和面积．
于是，设每个长方形的长为xcm，宽为ycm，由图3得
．解得．
所以每个长方形地砖的面积是30×10＝300（cm2），故应选B．
四、分类讨论思想
所谓分类就是根据事物的共性和差异性的特点，分别归类．在分类解决问题时，应注意分类的方法，明确分类标准，做到不重复、不遗漏．
例4已知梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，AD∶BC＝5∶6，∠A、∠D的平分线都与BC相交，且两交点把BC三等分，若梯形周长为57cm，求上、下底的长．
析解：由于∠A、∠D的平分线AE、DF的位置关系有两种情况，故需要分类讨论．
设AD＝5x，则BC＝6x，
（1）当∠A、∠D的平分线AE、DF的位置如图4（1）时，容易得到AB＝BE＝EF＝FC＝CD＝2x．
所以2x+6x+2x+5x=57．解得．
所以AD=19cm，cm．

（2）当∠A、∠D的平分线AE、DF的位置如图4（2）时，易得AB＝BE，CD＝CF，又BF＝EF＝CE＝2x，
所以BE＝AB＝4x，CF＝CD＝4x．
所以4x+6x+4x+5x=57．
解得x=3．
所以AD＝15cm，BC＝18cm．
即梯形的上、下底长分别是19cm、cm或15cm、18cm．
五、转化思想
转化思想是解决数学问题的一种重要的思想，通过转化，才能将复杂的、生疏的问题转化为简洁的、熟悉的问题，从而使问题得到解决．
梯形中的常见辅助线，本身就体现了转化思想．利用梯形中的辅助线，可把梯形转化成平行四边形、矩形、三角形等，再利用它们的性质来解决有关梯形问题，常见辅助线有以下几种：